Proovi ise enne Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje 2. 1. samm 3. Kogu lahendus Vihje Too esimese murru nimetajas a a a
Näita vihjet Näita kogu lahendust 1 Küsimus 1 Samm 1: Tegurda esimese murru nimetaja Esimeses küsimuses tuleb avaldis lihtsustada. Alustame sulgudest. Esimese murru nimetajas on mõlemal liikmel tegur a a a
Toome nimetajas ühise teguri a a a
a 2 − a = a ( a − 1 ) a^2 - a \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\hl{a(a - 1)}} a 2 − a = a ( a − 1 ) Miks nii? Nüüd on näha, et teise murru nimetaja a − 1 a - 1 a − 1 a ( a − 1 ) a(a - 1) a ( a − 1 ) 2 Küsimus 1 Samm 2: Liida sulgudes olevad murrud Kirjutame esimese murru tegurdatud nimetajaga.
3 a 2 − a + 1 a − 1 = 3 a ( a − 1 ) + 1 a − 1 \frac{3}{a^2 - a} + \frac{1}{a - 1} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\id{ahel-2}{\frac{3}{a(a - 1)} + \frac{1}{a - 1}}} a 2 − a 3 + a − 1 1 = a ( a − 1 ) 3 + a − 1 1 Laiendame teist murdu teguriga a a a
3 a ( a − 1 ) + 1 a − 1 = 3 a ( a − 1 ) + a a ( a − 1 ) \id{ahel-2}{\frac{3}{a(a - 1)} + \frac{1}{a - 1}} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\id{ahel-3}{\frac{3}{a(a - 1)} + \frac{a}{a(a - 1)}}} a ( a − 1 ) 3 + a − 1 1 = a ( a − 1 ) 3 + a ( a − 1 ) a Ühise nimetajaga murdude liitmisel liidame lugejad.
3 a ( a − 1 ) + a a ( a − 1 ) = a + 3 a ( a − 1 ) \id{ahel-3}{\frac{3}{a(a - 1)} + \frac{a}{a(a - 1)}} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\hl{\id{summa}{\frac{a + 3}{a(a - 1)}}}} a ( a − 1 ) 3 + a ( a − 1 ) a = a ( a − 1 ) a + 3 Miks nii? Murdu laiendades korrutame lugejat ja nimetajat sama arvuga, siis murru väärtus ei muutu: 1 a − 1 = 1 ⋅ a ( a − 1 ) ⋅ a \frac{1}{a - 1} = \frac{1 \cdot a}{(a - 1) \cdot a} a − 1 1 = ( a − 1 ) ⋅ a 1 ⋅ a 3 Küsimus 1 Samm 3: Tegurda jagaja lugeja Jagaja lugejas on kahe ruudu vahe, sest 9 = 3 2 9 = 3^2 9 = 3 2
Kasutame ruutude vahe valemit, kus esimene liige on 3 3 3 a a a
9 − a 2 = 3 2 − a 2 = ( 3 − a ) ( 3 + a ) 9 - a^2 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{3^2 - a^2} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\hl{(3 - a)(3 + a)}} 9 − a 2 = 3 2 − a 2 = ( 3 − a ) ( 3 + a ) Miks nii? Ruutude vahe valem a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) 3 + a 3 + a 3 + a a + 3 a + 3 a + 3 4 Küsimus 1 Samm 4: Jaga ja taanda Murruga jagamine on sama mis korrutamine selle pöördmurruga.
Asendame sulud nende summaga ja korrutame jagaja pöördmurruga.
a + 3 a ( a − 1 ) : ( 3 − a ) ( 3 + a ) a − 1 = a + 3 a ( a − 1 ) ⋅ a − 1 ( 3 − a ) ( 3 + a ) \id{summa}{\frac{a + 3}{a(a - 1)}} : \frac{(3 - a)(3 + a)}{a - 1} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{a + 3}{a(a - 1)} \cdot \frac{a - 1}{(3 - a)(3 + a)}} a ( a − 1 ) a + 3 : a − 1 ( 3 − a ) ( 3 + a ) = a ( a − 1 ) a + 3 ⋅ ( 3 − a ) ( 3 + a ) a − 1 Kirjutame ühe murruna ja taandame tegurid a − 1 a - 1 a − 1 a + 3 = 3 + a a + 3 = 3 + a a + 3 = 3 + a
( a + 3 ) ( a − 1 ) a ( a − 1 ) ( 3 − a ) ( 3 + a ) = 1 a ( 3 − a ) \frac{(a + 3)(a - 1)}{a(a - 1)(3 - a)(3 + a)} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\hl{\frac{1}{a(3 - a)}}} a ( a − 1 ) ( 3 − a ) ( 3 + a ) ( a + 3 ) ( a − 1 ) = a ( 3 − a ) 1 Miks nii? Taandada saab ainult tegureid, mitte liidetavaid. Lugejas ja nimetajas on sama tegur a − 1 a - 1 a − 1 a + 3 a + 3 a + 3 1 1 1 a ≠ 0 a \ne 0 a = 0 a ≠ 1 a \ne 1 a = 1 a ≠ ± 3 a \ne \pm 3 a = ± 3 5 Küsimus 2 Samm 5: Arvuta logaritm Teises küsimuses on a = log 2 16 a = \log_2 16 a = log 2 16 2 2 2 16 16 16
Kirjutame 16 16 16
16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 4 16 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{2^4} 16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 4 Logaritmi definitsiooni järgi on logaritm see astendaja.
a = log 2 16 = log 2 2 4 = 4 a \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\log_2 16} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\log_2 2^4} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{4}} a = log 2 16 = log 2 2 4 = 4 Miks nii? Definitsioon: log a b = c \log_a b = c log a b = c a c = b a^c = b a c = b 2 4 = 16 2^4 = 16 2 4 = 16 log 2 16 = 4 \log_2 16 = 4 log 2 16 = 4 4 4 4 6 Küsimus 2 Samm 6: Arvuta avaldise väärtus Asendame lihtsustatud avaldisse a = 4 a = 4 a = 4
1 a ( 3 − a ) = 1 4 ⋅ ( 3 − 4 ) = 1 4 ⋅ ( − 1 ) = − 1 4 \frac{1}{a(3 - a)} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{1}{4 \cdot (3 - 4)}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{1}{4 \cdot (-1)}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{-\frac{1}{4}}} a ( 3 − a ) 1 = 4 ⋅ ( 3 − 4 ) 1 = 4 ⋅ ( − 1 ) 1 = − 4 1 Miks nii? Lihtsustatud avaldisega on arvutamine palju lühem. Kontroll esialgsest avaldisest: sulgudes 3 12 + 1 3 = 7 12 \frac{3}{12} + \frac{1}{3} = \frac{7}{12} 12 3 + 3 1 = 12 7 9 − 16 3 = − 7 3 \frac{9 - 16}{3} = -\frac{7}{3} 3 9 − 16 = − 3 7 7 12 : ( − 7 3 ) = − 7 12 ⋅ 3 7 = − 1 4 \frac{7}{12} : \left(-\frac{7}{3}\right) = -\frac{7}{12} \cdot \frac{3}{7} = -\frac{1}{4} 12 7 : ( − 3 7 ) = − 12 7 ⋅ 7 3 = − 4 1 VASTUS 1) Lihtsustatud avaldis on 1 a ( 3 − a ) \frac{1}{a(3 - a)} a ( 3 − a ) 1 a = log 2 16 = 4 a = \log_2 16 = 4 a = log 2 16 = 4 − 1 4 -\frac{1}{4} − 4 1
Taandatakse liidetavaid, mitte tegureid, näiteks kriipsutatakse murrus 9 − a 2 a − 1 \frac{9 - a^2}{a - 1} a − 1 9 − a 2
a + 3 a ( a − 1 ) ⋅ a − 1 9 − a 2 = 3 9 \frac{a + 3}{a(a - 1)} \cdot \frac{a - 1}{9 - a^2} = \frac{3}{9} a ( a − 1 ) a + 3 ⋅ 9 − a 2 a − 1 = 9 3 liidetavate taandamine
Ruutude vahe kirjutatakse märgiga valesti kujul ( a − 3 ) ( a + 3 ) (a - 3)(a + 3) ( a − 3 ) ( a + 3 ) a 2 − 9 a^2 - 9 a 2 − 9 9 − a 2 9 - a^2 9 − a 2
9 − a 2 = ( a − 3 ) ( a + 3 ) 9 - a^2 = (a - 3)(a + 3) 9 − a 2 = ( a − 3 ) ( a + 3 ) märgiviga
Ülesanne 2