Kitsas riigieksam 2016, ülesanne 3: Logaritmvõrrand
Lahendage võrrandlog2(x+3)+log2(x+1)=3log22.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2016, ülesanne 3
Valemikaart: logaritmid
logab=c⟺ac=b,a>0,a=1,b>0
loga(xy)=logax+logay
logayx=logax−logay
logaxk=klogax
logax=logbalogbx,alogax=x
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Leia kõigepealt, millised x väärtused on lubatud. Kahe logaritmi summa on korrutise logaritm ja log22=1.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Leia määramispiirkond
Logaritm on määratud ainult positiivsest arvust. Seepärast peavad mõlemad logaritmitavad olema positiivsed.
Kirjutame mõlemad tingimused.
x+3>0jax+1>0
Avaldame x: x>−3 ja x>−1. Mõlemad kehtivad, kui x>−1.
x>−1
Kui x>−1, siis kindlasti ka x>−3. Määramispiirkonna kirjutame üles kohe alguses, sest pärast teisendusi võib tekkida lahendeid, mis algsesse võrrandisse ei sobi.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Lihtsusta võrrandi pooled
Vasakul on kahe sama alusega logaritmi summa, mille saab kirjutada korrutise logaritmina. Paremal on log22=1.
Kahe logaritmi summa on korrutise logaritm.
log2(x+3)+log2(x+1)=log2((x+3)(x+1))
Paremal pool on log22=1, sest 21=2.
3log22=3⋅1=3
Kirjutame võrrandi uuesti.
log2((x+3)(x+1))=3
Valem logax+logay=loga(xy) kehtib, kui x>0 ja y>0; määramispiirkonnas see nii ongi.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Vabane logaritmist
Logaritmi definitsiooni järgi: kui log2b=3, siis b=23.
(x+3)(x+1)=23
Avame sulud ja arvutame astme.
x2+x+3x+3=8
Koondame ja viime kõik liikmed vasakule.
x2+4x−5=0
logab=c tähendab ac=b. Siin a=2 ja c=3, seega logaritmitav on 23=8.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Lahenda ruutvõrrand
Ruutvõrrandis on a=1, b=4 ja c=−5.
Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.
x1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame kordajad ja arvutame diskriminandi.
x1;2=2−4±16+20=2−4±36=2−4±6
Arvutame mõlemad lahendid.
x1=2−4+6=1,x2=2−4−6=−5
Diskriminant on 42−4⋅1⋅(−5)=16+20=36. Kontrolliks Viète'i teoreem: 1+(−5)=−4 ja 1⋅(−5)=−5.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Vali sobiv lahend ja kontrolli
Määramispiirkond on x>−1. Arv −5 sinna ei kuulu: siis oleks x+3=−2 ja x+1=−4 ning negatiivse arvu logaritmi ei ole olemas. Seega jääb alles ainult x=1.
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x=1.
vp=log24+log22=2+1=3
Arvutame võrrandi parema poole.
pp=3log22=3
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega lahend sobib.
vp=pp
Kirjutame võrrandi lahendi.
x=1
log24=2, sest 22=4, ja log22=1. Lahend x2=−5 tekkis siis, kui asendasime logaritmide summa korrutise logaritmiga: korrutis (x+3)(x+1)=(−2)⋅(−4)=8 on positiivne, aga üksikud logaritmid ei ole määratud.
VASTUS
Võrrandi lahend on x=1 (ruutvõrrandi teine lahend −5 ei kuulu määramispiirkonda).