Proovi ise enne Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje 2. 1. samm 3. Kogu lahendus Vihje Esimeses võrrandis kirjuta mõlemad pooled arvu 3 3 3
Näita vihjet Näita kogu lahendust 1 Küsimus 1 Samm 1: Kirjuta pooled arvu 3 astmena Esimene võrrand on eksponentvõrrand. Viime murru paremale poole ja kirjutame mõlemad pooled sama alusega astmena. Sobiv alus on 3 3 3 9 = 3 2 9 = 3^2 9 = 3 2 27 = 3 3 27 = 3^3 27 = 3 3
Viime liikme − 1 27 -\frac{1}{27} − 27 1
9 x + 2 = 1 27 9^{x + 2} = \frac{1}{27} 9 x + 2 = 27 1 Kirjutame 9 = 3 2 9 = 3^2 9 = 3 2 1 27 = 1 3 3 = 3 − 3 \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3} 27 1 = 3 3 1 = 3 − 3
( 3 2 ) x + 2 = 3 − 3 \left(3^2\right)^{x + 2} = 3^{-3} ( 3 2 ) x + 2 = 3 − 3 Astme astendamisel korrutame astendajad: 2 ( x + 2 ) = 2 x + 4 2(x + 2) = 2x + 4 2 ( x + 2 ) = 2 x + 4
3 2 x + 4 = 3 − 3 \hl{3^{2x + 4} = 3^{-3}} 3 2 x + 4 = 3 − 3 Miks nii? Negatiivne astendaja tähendab pöördarvu: a − n = 1 a n a^{-n} = \frac{1}{a^n} a − n = a n 1 1 3 3 = 3 − 3 \frac{1}{3^3} = 3^{-3} 3 3 1 = 3 − 3 2 Küsimus 1 Samm 2: Võrdsusta astendajad Kui kaks sama alusega astet on võrdsed, on võrdsed ka astendajad.
Võrdsustame astendajad.
2 x + 4 = − 3 2x + 4 = -3 2 x + 4 = − 3 Viime arvu 4 4 4
2 x = − 3 − 4 = − 7 2x \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{-3 - 4} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-7} 2 x = − 3 − 4 = − 7 Jagame mõlemaid pooli arvuga 2 2 2
x = − 7 2 = − 3,5 x \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{-7}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\hl{-3{,}5}} x = 2 − 7 = − 3 , 5 Miks nii? Funktsioon y = 3 x y = 3^x y = 3 x 3 2 x + 4 = 3 − 3 3^{2x + 4} = 3^{-3} 3 2 x + 4 = 3 − 3 2 x + 4 = − 3 2x + 4 = -3 2 x + 4 = − 3 3 Küsimus 1 Samm 3: Kontrolli lahendit Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x = − 3,5 x = -3{,}5 x = − 3 , 5 − 3,5 + 2 = − 1,5 -3{,}5 + 2 = -1{,}5 − 3 , 5 + 2 = − 1 , 5
vp = 9 − 1,5 − 1 27 = 1 9 1,5 − 1 27 = 1 27 − 1 27 = 0 \text{vp} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{9^{-1{,}5} - \frac{1}{27}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{1}{9^{1{,}5}} - \frac{1}{27}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\frac{1}{27} - \frac{1}{27}} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{0} vp = 9 − 1 , 5 − 27 1 = 9 1 , 5 1 − 27 1 = 27 1 − 27 1 = 0 Võrrandi parem pool on 0 0 0
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega lahend sobib.
vp = pp \text{vp} = \text{pp} vp = pp Miks nii? 9 1,5 = 9 3 2 = ( 9 ) 3 = 3 3 = 27 9^{1{,}5} = 9^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{9}\right)^3 = 3^3 = 27 9 1 , 5 = 9 2 3 = ( 9 ) 3 = 3 3 = 27 4 Küsimus 2 Samm 4: Leia määramispiirkond Teine võrrand on logaritmvõrrand. Logaritm on määratud ainult positiivsest arvust, seega peavad mõlemad logaritmitavad olema positiivsed.
Esimene logaritmitav x 2 x^2 x 2 x x x
x 2 > 0 ⇒ x ≠ 0 x^2 > 0 \;\Rightarrow\; x \ne 0 x 2 > 0 ⇒ x = 0 Teine logaritmitav peab olema positiivne.
x + 4 > 0 ⇒ x > − 4 x + 4 > 0 \;\Rightarrow\; x > -4 x + 4 > 0 ⇒ x > − 4 Mõlemad tingimused koos.
x > − 4 , x ≠ 0 \hl{x > -4, \ x \ne 0} x > − 4 , x = 0 Miks nii? Ruut x 2 x^2 x 2 x x x − 4 -4 − 4 5 Küsimus 2 Samm 5: Kirjuta parem pool üheks logaritmiks Kasutame korrutise logaritmi valemit log a + log b = log ( a b ) \log a + \log b = \log(ab) log a + log b = log ( ab )
log x 2 = log ( 2 ( x + 4 ) ) \log x^2 = \log\big(2(x + 4)\big) log x 2 = log ( 2 ( x + 4 ) ) Avame sulud.
log x 2 = log ( 2 x + 8 ) \log x^2 = \log(2x + 8) log x 2 = log ( 2 x + 8 ) Kui kahe arvu logaritmid on võrdsed, on võrdsed ka arvud.
x 2 = 2 x + 8 \hl{x^2 = 2x + 8} x 2 = 2 x + 8 Miks nii? Alus ei ole kirjas; tavaliselt tähendab log \log log lg \lg lg 6 Küsimus 2 Samm 6: Lahenda ruutvõrrand Viime kõik liikmed vasakule poole.
x 2 − 2 x − 8 = 0 x^2 - 2x - 8 = 0 x 2 − 2 x − 8 = 0 Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.
x 1 ; 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x_{1;2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} x 1 ; 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c Asendame a = 1 a = 1 a = 1 b = − 2 b = -2 b = − 2 c = − 8 c = -8 c = − 8
x 1 ; 2 = 2 ± 4 + 32 2 = 2 ± 36 2 = 2 ± 6 2 x_{1;2} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\frac{2 \pm 6}{2}} x 1 ; 2 = 2 2 ± 4 + 32 = 2 2 ± 36 = 2 2 ± 6 Arvutame mõlemad lahendid.
x 1 = 2 − 6 2 = − 2 , x 2 = 2 + 6 2 = 4 x_1 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{2 - 6}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\hl{-2}, \qquad x_2} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\frac{2 + 6}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{\hl{4}} x 1 = 2 2 − 6 = − 2 , x 2 = 2 2 + 6 = 4 Miks nii? Diskriminant on b 2 − 4 a c = ( − 2 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 8 ) = 4 + 32 = 36 b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 b 2 − 4 a c = ( − 2 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 8 ) = 4 + 32 = 36 − 2 + 4 = 2 -2 + 4 = 2 − 2 + 4 = 2 − 2 ⋅ 4 = − 8 -2 \cdot 4 = -8 − 2 ⋅ 4 = − 8 7 Küsimus 2 Samm 7: Kontrolli lahendeid Mõlemad lahendid on suuremad kui − 4 -4 − 4
Arvutame vasaku poole, kui x 1 = − 2 x_1 = -2 x 1 = − 2
vp = log ( − 2 ) 2 = log 4 \text{vp} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\log(-2)^2} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\log 4} vp = log ( − 2 ) 2 = log 4 Arvutame parema poole, kui x 1 = − 2 x_1 = -2 x 1 = − 2
pp = log 2 + log ( − 2 + 4 ) = log 2 + log 2 = log 4 \text{pp} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\log 2 + \log(-2 + 4)} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\log 2 + \log 2} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\log 4} pp = log 2 + log ( − 2 + 4 ) = log 2 + log 2 = log 4 Vasak ja parem pool on võrdsed, seega x 1 = − 2 x_1 = -2 x 1 = − 2
vp = pp \text{vp} = \text{pp} vp = pp Arvutame vasaku poole, kui x 2 = 4 x_2 = 4 x 2 = 4
vp = log 4 2 = log 16 \text{vp} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\log 4^2} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\log 16} vp = log 4 2 = log 16 Arvutame parema poole, kui x 2 = 4 x_2 = 4 x 2 = 4
pp = log 2 + log ( 4 + 4 ) = log 2 + log 8 = log 16 \text{pp} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\log 2 + \log(4 + 4)} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\log 2 + \log 8} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\log 16} pp = log 2 + log ( 4 + 4 ) = log 2 + log 8 = log 16 Vasak ja parem pool on võrdsed, seega ka x 2 = 4 x_2 = 4 x 2 = 4
vp = pp \text{vp} = \text{pp} vp = pp Miks nii? log 2 + log 2 = log ( 2 ⋅ 2 ) = log 4 \log 2 + \log 2 = \log(2 \cdot 2) = \log 4 log 2 + log 2 = log ( 2 ⋅ 2 ) = log 4 log 2 + log 8 = log ( 2 ⋅ 8 ) = log 16 \log 2 + \log 8 = \log(2 \cdot 8) = \log 16 log 2 + log 8 = log ( 2 ⋅ 8 ) = log 16 x 1 = − 2 x_1 = -2 x 1 = − 2 x 2 = 4 x^2 = 4 x 2 = 4 x + 4 = 2 x + 4 = 2 x + 4 = 2 VASTUS 1) Võrrandi 9 x + 2 − 1 27 = 0 9^{x + 2} - \frac{1}{27} = 0 9 x + 2 − 27 1 = 0 x = − 3,5 x = -3{,}5 x = − 3 , 5 log x 2 = log 2 + log ( x + 4 ) \log x^2 = \log 2 + \log(x + 4) log x 2 = log 2 + log ( x + 4 ) x 1 = − 2 x_1 = -2 x 1 = − 2 x 2 = 4 x_2 = 4 x 2 = 4
Teises võrrandis kirjutatakse log x 2 = 2 log x \log x^2 = 2\log x log x 2 = 2 log x x x x x > 0 x > 0 x > 0 x = − 2 x = -2 x = − 2
x = 4 x = 4 x = 4 lahend kadunud
Esimeses võrrandis kirjutatakse 1 27 = 3 3 \frac{1}{27} = 3^3 27 1 = 3 3 2 x + 4 = 3 2x + 4 = 3 2 x + 4 = 3
x = − 0,5 x = -0{,}5 x = − 0 , 5 astendaja märk
Ülesanne 5 Ülesanne 7