Põhikooli lõpueksam 2026, ülesanne 4: Ruutfunktsiooni ja lineaarfunktsiooni graafik
1.On antud ruutfunktsioon y=x2+4x. Arvuta kirjalikult ruutfunktsiooni
1)nullkohad;
2)graafiku haripunkti H koordinaadid.
2.Leia lineaarfunktsiooni y=2x+3 graafiku ja y-telje lõikepunkti koordinaadid.
3.Joonesta antud koordinaatteljestikus funktsioonide y=x2+4x ja y=2x+3 graafikud.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2026, ülesanne 4
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
−7−6−5−4−3−2−11234−5−4−3−2−11234560xy
Valemikaart: parabooli haripunkt
y=ax2+bx+c
xh=−2ab=2x1+x2
yh=f(xh)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Nullkohtade leidmiseks võrdsusta funktsiooni avaldis nulliga ja too x sulgude ette. Haripunkt asub täpselt nullkohtade keskel.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1.1Samm 1: Leia nullkohad
Esimeses küsimuses tuleb leida ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkt. Nullkoht on selline x väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null ehk y=0.
Võrdsustame funktsiooni avaldise nulliga.
x2+4x=0
Mõlemas liikmes on tegur x. Toome selle sulgude ette.
x(x+4)=0
Korrutis on null, kui vähemalt üks tegur on null. Seega x=0 või x+4=0, millest x=−4.
x=0vo˜ix+4=0
Kirjutame nullkohad kasvavas järjekorras.
x1=−4,x2=0
−7−6−5−4−3−2−11234−5−4−3−2−11234560xyx1x2
Võrrandit ei tohi x-ga läbi jagada, sest nii kaoks lahend x=0. Mittetäielikku ruutvõrrandit saab lahendada ka lahendivalemiga (a=1, b=4, c=0), aga tegurdamine on lühem.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1.2Samm 2: Leia haripunkti x-koordinaat
Parabool on sümmeetriline, seega asub haripunkt täpselt nullkohtade keskel.
Kirjutame valemi: haripunkti x-koordinaat on nullkohtade aritmeetiline keskmine.
xh=2x1+x2
Asendame nullkohad x1=−4 ja x2=0.
xh=2−4+0=2−4=−2
Sama tulemuse annab valem xh=−2ab=−2⋅14=−2.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1.2Samm 3: Leia haripunkti y-koordinaat
Asendame xh=−2 funktsiooni valemisse. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
Vastuseks on punkt, seega tuleb anda mõlemad koordinaadid. Ainult y=3 eest punkti ei saa.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Koosta parabooli väärtuste tabel
Kolmandas küsimuses tuleb joonestada mõlemad graafikud. Parabooli jaoks teame juba nullkohti ja haripunkti. Kuna x2 kordaja on positiivne, avaneb parabool üles. Arvutame veel mõne punkti haripunktist mõlemal pool.
Arvutame y väärtuse, kui x=−1.
y=(−1)2+4⋅(−1)=1−4=−3
Arvutame y väärtuse, kui x=−3.
y=(−3)2+4⋅(−3)=9−12=−3
Arvutame y väärtuse, kui x=1.
y=12+4⋅1=1+4=5
Arvutame y väärtuse, kui x=−5.
y=(−5)2+4⋅(−5)=25−20=5
Kanname nullkohad, haripunkti ja arvutatud punktid väärtuste tabelisse.
Tõus 2 tähendab, et ühe ühiku võrra paremale liikudes tõuseb sirge kaks ühikut.
VASTUS
1) Ruutfunktsiooni nullkohad on x1=−4 ja x2=0 ning graafiku haripunkt on H(−2;−4). 2) Lineaarfunktsiooni graafik lõikab y-telge punktis L(0;3). 3) Graafikud on joonisel: parabool läbib punkte (−4;0), H(−2;−4) ja (0;0) ning sirge punkte (0;3) ja (1;5).