Põhikooli lõpueksam 2025, ülesanne 7: Püramiidikujuline küünal

Esimeses küsimuses tuleb arvutada küünla ruumala. Püramiidi ruumala jaoks on vaja põhja pindala ja kõrgust. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhi on ruut, seega leiame kõigepealt ruudu külje ehk põhiserva $a$.

Ruudu ümbermõõt on neli korda külg. Asendame ümbermõõdu $60$ cm.

Et $a$ jääks üksi, jagame võrrandi mõlemat poolt arvuga $4$.

Ruudu pindala on külje ruut.

Asendame põhiserva $a = 15$ cm.

Kõrguse leidmiseks vaatame joonisel värvitud kolmnurka. Tähistame püramiidi tipu $S$, põhja keskpunkti $O$ ja põhiserva keskpunkti $M$. Kolmnurk $SOM$ on täisnurkne (täisnurk on tipus $O$) ja selle nurk tipus $M$ on põhitahu ja külgtahu vaheline nurk $60^\circ$.

Kaatet $OM$ ulatub ruudu keskpunktist külje keskpunktini, seega on see pool põhiservast.

Kolmnurgas $SOM$ on nurga $60^\circ$ vastaskaatet kõrgus $H = SO$ ja lähiskaatet $OM = 7{,}5$ cm. Vastas- ja lähiskaatetit seob tangens.

Kirjutame tangensi: vastaskaatet jagatud lähiskaatetiga.

Asendame $SO = H$ ja $OM = 7{,}5$ cm.

Avaldame $H$: korrutame võrrandi mõlemat poolt arvuga $7{,}5$ ja vahetame pooled.

Leiame taskuarvutiga $\tan 60^\circ \approx 1{,}732$ ja korrutame.

Ümardame kõrguse täisarvuni nagu hindamisjuhendis.

Kirjutame püramiidi ruumala valemi: kolmandik põhja pindala ja kõrguse korrutisest.

Asendame $S_p = 225 \text{ cm}^2$ ja $H \approx 13$ cm. Kõigepealt jagame $225 : 3 = 75$.

Teises küsimuses tuleb leida, kui palju küünal kaalub. Iga kuupsentimeeter vaha kaalub $0{,}96$ grammi ja küünlas on vaha $975 \text{ cm}^3$.

Korrutame küünla ruumala ühe kuupsentimeetri massiga.

Kolmandas küsimuses tuleb leida, mitu küünalt saab teha ühest tonnist vahast. Vaha kogus ja ühe küünla mass peavad olema samades ühikutes.

Üks tonn on $1000$ kilogrammi ja üks kilogramm on $1000$ grammi.

Jagame vaha koguse ühe küünla massiga.

Küünalde arv peab olema täisarv. Poolikut küünalt teha ei saa, seega ümardame alla.

Kontrollime: $1068$ küünla jaoks vaha jätkub, $1069$ küünla jaoks aga mitte.

Kõrguse ümardasime $12{,}99$ sentimeetrilt $13$ sentimeetrile, seega tuli ka küünla mass tegelikust veidi suurem. Arvutame võrdluseks sama tee ümardamata kõrgusega $H = 7{,}5 \cdot \tan 60^\circ$.

Arvutame ruumala ümardamata kõrgusega. Nagu enne, on $\frac{1}{3} \cdot 225 = 75$.

Arvutame küünla massi.

Jagame tonni grammides ühe küünla massiga.

Ümardame alla täisarvuni.