Põhikooli lõpueksam 2017, ülesanne 1: Avaldise lihtsustamine ja väärtuse arvutamine
Lihtsusta avaldis
(2x+3y)(2x−3y)+(4x+3y)2−5x(5y−x)
ja arvuta selle väärtus, kui x=−4 ja y=10.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2017, ülesanne 1
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Avaldises on kolm osa. Esimene on ruutude vahe, teine on summa ruut ja kolmandas tuleb üksliige sulu iga liikmega läbi korrutada. Arvuta väärtus alles lihtsustatud avaldisest.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Korruta esimesed sulud ruutude vahe valemiga
Esimeses korrutises on samade liikmete summa ja vahe. Kasutame ruutude vahe valemit, kus esimene liige on 2x ja teine liige 3y.
(2x+3y)(2x−3y)=(2x)2−(3y)2=4x2−9y2
Sulgudes on samade liikmete summa ja vahe, seega kehtib valem (a+b)(a−b)=a2−b2, kus a=2x ja b=3y. Ruutu tuleb võtta ka kordaja: (2x)2=4x2 ja (3y)2=9y2.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Võta summa ruutu
Kasutame summa ruudu valemit, kus esimene liige on 4x ja teine liige 3y.
(4x+3y)2=(4x)2+2⋅4x⋅3y+(3y)2
Arvutame liikmete ruudud ja kahekordse korrutise.
(4x)2+2⋅4x⋅3y+(3y)2=16x2+24xy+9y2
Summa ruudu valem: (a+b)2=a2+2ab+b2. Keskmine liige on kahekordne korrutis: 2⋅4x⋅3y=24xy.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Ava kolmandad sulud
Korrutame sulgude ees oleva üksliikme 5x sulgude mõlema liikmega.
5x(5y−x)=5x⋅5y−5x⋅x=25xy−5x2
Miinusmärki korrutise ees me veel ei puutu: avame kõigepealt sulud ja lahutame saadud tulemuse tervikuna järgmises sammus.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Pane osad kokku ja ava sulud
Asendame avaldise kolm osa leitud tulemustega. Kolmanda osa ees on miinus, seega jääb see sulgudesse.
4x2−9y2+16x2+24xy+9y2−(25xy−5x2)
Avame sulud. Miinus sulgude ees muudab sulgudes iga liikme märgi vastupidiseks.
4x2−9y2+16x2+24xy+9y2−25xy+5x2
Kolmanda osa ees on miinus, seega muutub sulgude avamisel mõlema liikme märk: −(25xy−5x2)=−25xy+5x2.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Koonda sarnased liikmed
Liidame liikmed, milles on x2.
4x2+16x2+5x2=25x2
Liikmed, milles on y2, on vastandliikmed ja annavad kokku nulli.
−9y2+9y2=0
Liidame liikmed, milles on xy.
24xy−25xy=−xy
Kirjutame lihtsustatud avaldise.
25x2−xy
Koondada saab ainult sarnaseid liikmeid ehk neid, millel on täpselt sama täheline osa.
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Arvuta avaldise väärtus
Asendame lihtsustatud avaldisse x=−4 ja y=10. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
25x2−xy=25⋅(−4)2−(−4)⋅10
Kõigepealt astendame, siis korrutame ja lõpuks liidame. Negatiivse arvu lahutamine on sama mis vastandarvu liitmine.
25⋅(−4)2−(−4)⋅10=25⋅16−(−40)=400+40=440
(−4)2=16, sest negatiivse arvu ruut on positiivne. Korrutis (−4)⋅10=−40 ja selle lahutamine on sama mis 40 liitmine.
7Samm 7Peidetud
7
Samm 7: Kontrolli esialgse avaldisega
Kontrolliks arvutame väärtuse ka esialgsest avaldisest, asendades x=−4 ja y=10 igasse ossa eraldi.
Arvutame esimese osa.
(2⋅(−4)+3⋅10)(2⋅(−4)−3⋅10)=22⋅(−38)=−836
Arvutame teise osa.
(4⋅(−4)+3⋅10)2=142=196
Arvutame kolmanda osa.
5⋅(−4)⋅(5⋅10−(−4))=−20⋅54=−1080
Paneme osad kokku. Tulemus on sama mis lihtsustatud avaldisest, seega on lihtsustamine õige.
−836+196−(−1080)=−836+196+1080=440
Esialgne ja lihtsustatud avaldis peavad andma sama väärtuse. Kui arvud lähevad lahku, on lihtsustamisel tehtud viga.
VASTUS
Lihtsustatud avaldis on 25x2−xy ning selle väärtus, kui x=−4 ja y=10, on 440.