Proovi ise enne Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje 2. 1. samm 3. Kogu lahendus Vihje Vabane kõigepealt murdudest. Selleks korruta võrrandi mõlemat poolt nimetajate 4 4 4 5 5 5
Näita vihjet Näita kogu lahendust 1 Küsimus 1 Samm 1: Vabane murdudest Esimeses küsimuses tuleb võrrand lahendada ja lahendeid kontrollida. Võrrandi mõlemal poolel on murd, seega vabaneme kõigepealt murdudest.
Nimetajate 4 4 4 5 5 5 20 20 20 20 20 20
x 2 − x + 2 4 = x + 3 5 ∣ ⋅ 20 \frac{x^2 - x + 2}{4} = \frac{x + 3}{5} \quad \big| \cdot 20 4 x 2 − x + 2 = 5 x + 3 ⋅ 20 Lugejad paneme sulgudesse, sest korrutada tuleb kogu lugejat.
20 ( x 2 − x + 2 ) 4 = 20 ( x + 3 ) 5 \frac{20(x^2 - x + 2)}{4} = \frac{20(x + 3)}{5} 4 20 ( x 2 − x + 2 ) = 5 20 ( x + 3 ) Taandame murrud: vasakul 20 : 4 = 5 20 : 4 = 5 20 : 4 = 5 20 : 5 = 4 20 : 5 = 4 20 : 5 = 4
5 ( x 2 − x + 2 ) = 4 ( x + 3 ) \hl{5}(x^2 - x + 2) = \hl{4}(x + 3) 5 ( x 2 − x + 2 ) = 4 ( x + 3 ) Miks nii? Kui võrrandi mõlemat poolt korrutada sama arvuga (mis ei ole null), jäävad lahendid samaks. Vähima ühiskordsega korrutades kaovad mõlemad nimetajad korraga. Sama tulemuse annab võrde põhiomadus ehk ristkorrutamine.
2 Küsimus 1 Samm 2: Ava sulud ja vii kõik liikmed vasakule Avame sulud: korrutame sulgude ees oleva arvu sulgude iga liikmega.
5 x 2 − 5 x + 10 = 4 x + 12 5x^2 - 5x + 10 = 4x + 12 5 x 2 − 5 x + 10 = 4 x + 12 Viime kõik liikmed vasakule poole. Teisele poole viidud liikme märk muutub vastupidiseks.
5 x 2 − 5 x − 4 x + 10 − 12 = 0 5x^2 - 5x - 4x + 10 - 12 = 0 5 x 2 − 5 x − 4 x + 10 − 12 = 0 Koondame sarnased liikmed ja saame ruutvõrrandi.
5 x 2 − 9 x − 2 = 0 \hl{5x^2 - 9x - 2 = 0} 5 x 2 − 9 x − 2 = 0 Miks nii? Liiget teisele poole viies muutub selle märk: 4 x 4x 4 x − 4 x -4x − 4 x 12 12 12 − 12 -12 − 12 − 5 x − 4 x = − 9 x -5x - 4x = -9x − 5 x − 4 x = − 9 x 10 − 12 = − 2 10 - 12 = -2 10 − 12 = − 2 3 Küsimus 1 Samm 3: Lahenda ruutvõrrand Kirjutame välja ruutvõrrandi kordajad.
a = 5 , b = − 9 , c = − 2 a = 5, \quad b = -9, \quad c = -2 a = 5 , b = − 9 , c = − 2 Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.
x 1 ; 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x_{1;2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} x 1 ; 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c Asendame kordajad valemisse. Negatiivsed arvud paneme sulgudesse.
x 1 ; 2 = − ( − 9 ) ± ( − 9 ) 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ ( − 2 ) 2 ⋅ 5 = 9 ± 81 + 40 10 x_{1;2} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2)}}{2 \cdot 5}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\id{ahel-9}{\frac{9 \pm \sqrt{81 + 40}}{10}}} x 1 ; 2 = 2 ⋅ 5 − ( − 9 ) ± ( − 9 ) 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ ( − 2 ) = 10 9 ± 81 + 40 Liidame juure all olevad arvud ja võtame ruutjuure.
9 ± 81 + 40 10 = 9 ± 121 10 = 9 ± 11 10 \id{ahel-9}{\frac{9 \pm \sqrt{81 + 40}}{10}} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{9 \pm \sqrt{121}}{10}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{9 \pm 11}{10}} 10 9 ± 81 + 40 = 10 9 ± 121 = 10 9 ± 11 Esimese lahendi saame plussmärgiga.
x 1 = 9 + 11 10 = 20 10 = 2 x_1 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{9 + 11}{10}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{20}{10}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{2}} x 1 = 10 9 + 11 = 10 20 = 2 Teise lahendi saame miinusmärgiga.
x 2 = 9 − 11 10 = − 2 10 = − 0,2 x_2 \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{9 - 11}{10}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{-2}{10}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{-0{,}2}} x 2 = 10 9 − 11 = 10 − 2 = − 0 , 2 Miks nii? Lahendivalemis on − b = − ( − 9 ) = 9 -b = -(-9) = 9 − b = − ( − 9 ) = 9 b = − 9 b = -9 b = − 9 − 4 ⋅ 5 ⋅ ( − 2 ) = + 40 -4 \cdot 5 \cdot (-2) = +40 − 4 ⋅ 5 ⋅ ( − 2 ) = + 40 11 2 = 121 11^2 = 121 1 1 2 = 121 121 = 11 \sqrt{121} = 11 121 = 11 4 Küsimus 1 Samm 4: Kontrolli lahendit x = 2 Lahendit kontrollitakse esialgses võrrandis. Arvutame eraldi vasaku poole (vp) ja parema poole (pp) ning võrdleme neid.
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x = 2 x = 2 x = 2
vp = 2 2 − 2 + 2 4 = 4 4 = 1 \text{vp} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{2^2 - 2 + 2}{4}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{4}{4}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{1} vp = 4 2 2 − 2 + 2 = 4 4 = 1 Arvutame võrrandi parema poole, kui x = 2 x = 2 x = 2
pp = 2 + 3 5 = 5 5 = 1 \text{pp} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{2 + 3}{5}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{5}{5}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\id{ahel-14}{1}} pp = 5 2 + 3 = 5 5 = 1 Vasak ja parem pool on võrdsed, seega x = 2 x = 2 x = 2
1 = 1 ehk vp = pp \id{ahel-14}{1} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{1 \ \text{ ehk } \ \hl{\text{vp} = \text{pp}}} 1 = 1 ehk vp = pp Miks nii? Kontroll tehakse esialgse võrrandiga, mitte teisendatud võrrandiga: nii tuleb välja ka viga, mis tehti murdudest vabanemisel või sulgude avamisel.
5 Küsimus 1 Samm 5: Kontrolli lahendit x = −0,2 Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x = − 0,2 x = -0{,}2 x = − 0 , 2
vp = ( − 0,2 ) 2 − ( − 0,2 ) + 2 4 = 0,04 + 0,2 + 2 4 \text{vp} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{(-0{,}2)^2 - (-0{,}2) + 2}{4}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\id{ahel-16}{\frac{0{,}04 + 0{,}2 + 2}{4}}} vp = 4 ( − 0 , 2 ) 2 − ( − 0 , 2 ) + 2 = 4 0 , 04 + 0 , 2 + 2 Liidame lugeja arvud ja jagame neljaga.
0,04 + 0,2 + 2 4 = 2,24 4 = 0,56 \id{ahel-16}{\frac{0{,}04 + 0{,}2 + 2}{4}} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{2{,}24}{4}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{0{,}56} 4 0 , 04 + 0 , 2 + 2 = 4 2 , 24 = 0 , 56 Arvutame võrrandi parema poole, kui x = − 0,2 x = -0{,}2 x = − 0 , 2
pp = − 0,2 + 3 5 = 2,8 5 = 0,56 \text{pp} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{-0{,}2 + 3}{5}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{\frac{2{,}8}{5}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\id{ahel-18}{0{,}56}} pp = 5 − 0 , 2 + 3 = 5 2 , 8 = 0 , 56 Vasak ja parem pool on võrdsed, seega ka x = − 0,2 x = -0{,}2 x = − 0 , 2
0,56 = 0,56 ehk vp = pp \id{ahel-18}{0{,}56} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{0{,}56 \ \text{ ehk } \ \hl{\text{vp} = \text{pp}}} 0 , 56 = 0 , 56 ehk vp = pp Miks nii? Negatiivne arv pannakse asendamisel sulgudesse: ( − 0,2 ) 2 = 0,04 (-0{,}2)^2 = 0{,}04 ( − 0 , 2 ) 2 = 0 , 04 − ( − 0,2 ) = + 0,2 -(-0{,}2) = +0{,}2 − ( − 0 , 2 ) = + 0 , 2 6 Küsimus 2 Samm 6: Leia lahendite pöördarvud Teises küsimuses tuleb leida lahendite pöördarvude korrutis. Arvu x x x 1 x \frac{1}{x} x 1
Leiame esimese lahendi x 1 = 2 x_1 = 2 x 1 = 2
1 x 1 = 1 2 \frac{1}{x_1} = \hl{\frac{1}{2}} x 1 1 = 2 1 Leiame teise lahendi x 2 = − 0,2 x_2 = -0{,}2 x 2 = − 0 , 2 − 0,2 -0{,}2 − 0 , 2 − 1 5 -\frac{1}{5} − 5 1
1 x 2 = 1 − 0,2 = 1 : ( − 1 5 ) = 1 ⋅ ( − 5 ) = − 5 \frac{1}{x_2} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{1}{-0{,}2}} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{1 : \left(-\frac{1}{5}\right)} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{1 \cdot (-5)} \mathrel{\htmlData{seg=4}{=}} \htmlData{seg=4}{\hl{-5}} x 2 1 = − 0 , 2 1 = 1 : ( − 5 1 ) = 1 ⋅ ( − 5 ) = − 5 Miks nii? Arvu ja tema pöördarvu korrutis on 1 1 1 2 ⋅ 1 2 = 1 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 2 ⋅ 2 1 = 1 ( − 0,2 ) ⋅ ( − 5 ) = 1 (-0{,}2) \cdot (-5) = 1 ( − 0 , 2 ) ⋅ ( − 5 ) = 1 1 : ( − 1 5 ) = 1 ⋅ ( − 5 ) 1 : \left(-\frac{1}{5}\right) = 1 \cdot (-5) 1 : ( − 5 1 ) = 1 ⋅ ( − 5 ) 7 Küsimus 2 Samm 7: Korruta pöördarvud Korrutame leitud pöördarvud.
1 x 1 ⋅ 1 x 2 = 1 2 ⋅ ( − 5 ) = − 5 2 = − 2,5 \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} \mathrel{\htmlData{seg=1}{=}} \htmlData{seg=1}{\frac{1}{2} \cdot (-5)} \mathrel{\htmlData{seg=2}{=}} \htmlData{seg=2}{-\frac{5}{2}} \mathrel{\htmlData{seg=3}{=}} \htmlData{seg=3}{\hl{-2{,}5}} x 1 1 ⋅ x 2 1 = 2 1 ⋅ ( − 5 ) = − 2 5 = − 2 , 5 Miks nii? Sama tulemuse saab ka Viète'i teoreemiga. Võrrandi 5 x 2 − 9 x − 2 = 0 5x^2 - 9x - 2 = 0 5 x 2 − 9 x − 2 = 0 x 1 ⋅ x 2 = c a = − 2 5 x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{2}{5} x 1 ⋅ x 2 = a c = − 5 2 1 x 1 ⋅ x 2 = − 5 2 \frac{1}{x_1 \cdot x_2} = -\frac{5}{2} x 1 ⋅ x 2 1 = − 2 5 VASTUS Võrrandi lahendid on x 1 = 2 x_1 = 2 x 1 = 2 x 2 = − 0,2 x_2 = -0{,}2 x 2 = − 0 , 2 − 2,5 -2{,}5 − 2 , 5
Murdudest vabanedes jäetakse lugeja sulgudesse panemata ja arvuga korrutatakse ainult esimest liiget.
5 x 2 − x + 2 = 4 x + 3 5x^2 - x + 2 = 4x + 3 5 x 2 − x + 2 = 4 x + 3 sulud puudu
Pöördarv aetakse segi vastandarvuga. Arvu 2 2 2 − 2 -2 − 2 1 2 \frac{1}{2} 2 1
( − 2 ) ⋅ 0,2 = − 0,4 (-2) \cdot 0{,}2 = -0{,}4 ( − 2 ) ⋅ 0 , 2 = − 0 , 4 vastandarv, mitte pöördarv
Ülesanne 1 Ülesanne 3