Põhikooli lõpueksam 2015, ülesanne 1: Avaldise lihtsustamine ja väärtuse arvutamine
Lihtsusta avaldis (3+2a)(2a−3)+b(b−a)−(b−2a)2 ja arvuta selle väärtus, kui a=31 ja b=−6.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2015, ülesanne 1
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Esimeses korrutises on samad liikmed, ainult ühes sulus on nende summa ja teises vahe. Viimane liige on vahe ruut. Mõlema jaoks on olemas abivalem.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Korruta esimesed sulud ruutude vahe valemiga
Esimeses sulus vahetame liidetavate järjekorra, et oleks näha summa ja vahe korrutis.
(3+2a)(2a−3)=(2a+3)(2a−3)
Kasutame ruutude vahe valemit, kus esimene liige on 2a ja teine liige 3.
(2a+3)(2a−3)=(2a)2−32=4a2−9
Liitmisel võib liidetavate järjekorda muuta, seega 3+2a=2a+3. Nüüd on näha summa ja vahe korrutis (a+b)(a−b)=a2−b2, kus a asemel on 2a ja b asemel 3. Pane tähele, et (2a)2=4a2: ruutu tuleb võtta ka kordaja 2.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Ava teised sulud
Korrutame sulgude ees oleva teguri b sulgude mõlema liikmega.
b(b−a)=b⋅b−b⋅a=b2−ab
Sulu ees olev tegur b korrutatakse sulu kummagi liikmega. Korrutis b⋅a kirjutatakse tavaliselt tähestiku järjekorras kujul ab.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Võta vahe ruutu
Kasutame vahe ruudu valemit, kus esimene liige on b ja teine liige 2a.
(b−2a)2=b2−2⋅b⋅2a+(2a)2
Arvutame kahekordse korrutise ja teise liikme ruudu.
b2−2⋅b⋅2a+(2a)2=b2−4ab+4a2
Vahe ruudu valem: (a−b)2=a2−2ab+b2, kus a asemel on b ja b asemel 2a. Keskmine liige on kahekordne korrutis 2⋅b⋅2a=4ab ja viimane liige (2a)2=4a2.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Pane osad kokku ja ava viimased sulud
Asendame avaldise kolm osa leitud tulemustega. Kolmanda osa ees on miinus, seega jääb see sulgudesse.
4a2−9+b2−ab−(b2−4ab+4a2)
Avame sulud. Miinus sulgude ees muudab sulgudes iga liikme märgi vastupidiseks.
4a2−9+b2−ab−b2+4ab−4a2
Vahe ruudu ees on miinusmärk, seega tuleb ruutu võtmise tulemus panna sulgudesse. Sulge avades muutub iga liikme märk vastupidiseks: b2 muutub −b2-ks, −4ab muutub +4ab-ks ja 4a2 muutub −4a2-ks.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Koonda sarnased liikmed
Paneme sarnased liikmed kõrvuti. Vastandliikmed annavad kokku nulli.
04a2−4a2+0b2−b23ab−ab+4ab−9
Alles jääb lihtsustatud avaldis.
3ab−9
Liikmed 4a2 ja −4a2 ning b2 ja −b2 annavad kokku nulli. Alles jäävad −ab+4ab=3ab ja arv −9.
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Arvuta avaldise väärtus
Asendame lihtsustatud avaldisse a=31 ja b=−6. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
3ab−9=3⋅31⋅(−6)−9
Kõigepealt korrutame, seejärel lahutame.
3⋅31⋅(−6)−9=1⋅(−6)−9=−6−9=−15
Väärtuse võib arvutada ka esialgsest avaldisest, aga lihtsustatud avaldisega on arvutamist palju vähem. Korrutamine tehakse enne lahutamist: 3⋅31=1 ja 1⋅(−6)=−6.
VASTUS
Lihtsustatud avaldis on 3ab−9 ning selle väärtus, kui a=31 ja b=−6, on −15.