Lai riigieksam 2025, ülesanne 8: Parabooli puutuja ja pindala

Joonisel on funktsiooni $f(x) = 0{,}25x^2$ graafik.

1.Põhjendage, et sirge $y = 2x - 4$ on funktsiooni $f(x)$ graafiku puutuja kohal $x_0 = 4$ . Täiendage joonist sirgega $y = 2x - 4$ .
2.Viirutage kujund, mida piiravad $x$ -telg, sirge $y = 2x - 4$ ja funktsiooni $f(x)$ graafik, ning arvutage viirutatud kujundi pindala.

Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2025, ülesanne 8

Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 65% punktidest (Harno aruanne).

Ülesande joonis

c' = 0, \quad x' = 1, \quad (x^n)' = nx^{n-1}

\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

(e^x)' = e^x, \quad (a^x)' = a^x \ln a

(\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0)

\int dx = x + C, \quad \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \ n \ne -1

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

\int e^x\,dx = e^x + C, \quad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C

\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C

C \text{ on konstant}

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

F \text{ on } f \text{ algfunktsioon: } F'(x) = f(x)

S = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx, \quad \text{kui } f(x) \ge g(x) \text{ lõigul } [a;\,b]

Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.