Lai riigieksam 2025, ülesanne 4: Avaldise lihtsustamine
Lihtsustage avaldis 2−(4x+21−4x−1x)−1, kui x≥0 ja x=41.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2025, ülesanne 4
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 55,4% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Valemikaart: astmed ja juured
am⋅an=am+n,am:an=am−n
(am)n=amn,(ab)n=anbn
a0=1,a−n=an1
anm=nam
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Märka, et 4x−1=(2x)2−12 on ruutude vahe. Aste −1 tähendab pöördväärtust.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Tegurda esimese murru nimetaja
Murdude lahutamiseks on vaja ühist nimetajat. Selle leidmiseks tegurdame kõigepealt mõlemad nimetajad.
Toome esimeses nimetajas ühise teguri 2 sulgude ette.
4x+2=2(2x+1)
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Tegurda teise murru nimetaja
Kuna x≥0, siis 4x=(2x)2. Teine nimetaja on seega kahe ruudu vahe.
4x−1=(2x)2−12
Kasutame ruutude vahe valemit, kus esimene liige on 2x ja teine 1.
(2x)2−12=(2x−1)(2x+1)
Ruutude vahe valem on a2−b2=(a−b)(a+b), siin a=2x ja b=1. Tingimus x≥0 on vajalik, et x oleks määratud. Tingimus x=41 tagab, et 4x−1=0.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Vii murrud ühisele nimetajale
Kirjutame murrud tegurdatud nimetajatega.
2(2x+1)1−(2x−1)(2x+1)x
Ühine nimetaja on 2(2x−1)(2x+1). Laiendame esimest murdu teguriga 2x−1 ja teist teguriga 2.
2(2x−1)(2x+1)(2x−1)−2x
Lugejas koonduvad 2x ja −2x. Nimetajas korrutame sulud tagasi kokku ruutude vahe valemiga.
2(2x−1)(2x+1)(2x−1)−2x=2(4x−1)−1
Murru laiendamisel korrutatakse lugeja ja nimetaja sama arvu või avaldisega, murru väärtus ei muutu. Nimetajas (2x−1)(2x+1)=4x−1 on sama ruutude vahe nagu eelmises sammus, ainult teistpidi.
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Leia pöördväärtus
Aste −1 tähendab pöördväärtust: murru lugeja ja nimetaja vahetavad kohad.
(2(4x−1)−1)−1=−12(4x−1)=−2(4x−1)
Avame sulud.
−2(4x−1)=−8x+2=2−8x
Valemist a−n=an1 saame (ba)−1=ab. Sulgudes olev murd ei ole kunagi null (lugeja on −1), seega pöördväärtus on alati olemas.
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Lahuta tulemus arvust 2
Asendame sulgude asemele leitud avaldise. Miinus sulgude ees muudab sulgudes olevate liikmete märgid.