Lai riigieksam 2025, ülesanne 5: Sirged ja kolmnurga mediaan
Sirge s on määratud võrrandiga y=31x−2. Sirge t läbib punkte A(4;1) ja B(6;5). Sirged s ja t lõikuvad punktis L. Arvutage
1)punkti L koordinaadid;
2)sirgete s ja t vaheline teravnurk;
3)punkti C koordinaadid, kui lõik BM on kolmnurga LBC mediaan ja BM=(1,5;−4,5).
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2025, ülesanne 5
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 56,86% punktidest (Harno aruanne).
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xy
Valemikaart: sirge võrrand
y=kx+b,k=tanα
y−y1=k(x−x1)
k=x2−x1y2−y1
paralleelsed: k1=k2,ristuvad: k1⋅k2=−1
Valemikaart: sirgete vaheline nurk
k1,k2 on sirgete to˜usud
tanφ=1+k1k2k2−k1
Valemikaart: vektorid
AB=(x2−x1;y2−y1)
∣a∣=ax2+ay2
a⋅b=axbx+ayby=∣a∣⋅∣b∣⋅cosφ
a⊥b⟺a⋅b=0
Valemikaart: kahe punkti kaugus ja lõigu keskpunkt
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
M(2x1+x2;2y1+y2)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Sirge t tõusu saad punktide A ja B koordinaatide vahedest. Mediaan ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Joonesta sirged
Esimeses küsimuses tuleb leida sirgete lõikepunkt. Joonestame alustuseks mõlemad sirged, siis on hiljem kõike lihtsam jälgida. Sirge s jaoks teeme väärtuste tabeli, sirge t läbib antud punkte A ja B.
Valime x-i väärtused, mis jaguvad kolmega, siis on y täisarv. Näiteks x=3 korral y=31⋅3−2=−1.
xy0−23−160
110xyst(0;−2)(6;0)A(4;1)B(6;5)
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Koosta sirge t võrrand
Tõus on y-koordinaatide vahe jagatud x-koordinaatide vahega.
k=x2−x1y2−y1
Asendame punktide A(4;1) ja B(6;5) koordinaadid.
kt=6−45−1=24=2
Kirjutame sirge võrrandi punkti A(4;1) ja tõusu 2 kaudu.
y−1=2(x−4)
Avame sulud ja avaldame y.
y=2x−8+1
Koondame arvud.
y=2x−7
Sirge võrrand punkti ja tõusu kaudu on y−y1=k(x−x1). Sama tulemuse annab punkt B: y−5=2(x−6) ehk y=2x−7. Kontrolliks: 2⋅4−7=1, seega A on sirgel.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Leia lõikepunkt L
Lõikepunktis on mõlemal sirgel sama y, seega võrdsustame võrrandite paremad pooled.
Võrdsustame paremad pooled.
31x−2=2x−7
Viime x-iga liikmed paremale ja arvud vasakule poole.
−2+7=2x−31x
Koondame mõlemal pool: 2x−31x=36x−31x=35x.
5=35x
Jagame mõlemad pooled arvuga 35 ehk korrutame arvuga 53.
x=5⋅53=3
Leiame y-koordinaadi sirge t võrrandist.
y=2⋅3−7=−1
110xyst(0;−2)(6;0)A(4;1)B(6;5)L(3;−1)
Kontrolliks sobib ka sirge s võrrand: 31⋅3−2=1−2=−1. Seega on lõikepunkt L(3;−1).
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia sirgete vaheline nurk
Teises küsimuses tuleb leida sirgete vaheline teravnurk. Sirgete tõusud on k1=31 (sirge s) ja k2=2 (sirge t).
Kirjutame sirgete vahelise nurga valemi.
tanφ=1+k1k2k2−k1
Asendame tõusud. Lugejas 2−31=35 ja nimetajas 1+32=35.
tanφ=1+31⋅22−31=3535=1
Teravnurk, mille tangens on 1, on 45∘.
φ=45∘
110xyst(0;−2)(6;0)A(4;1)B(6;5)L(3;−1)45∘
Absoluutväärtus valemis tagab, et saame teravnurga. Teine võimalus on kasutada sihivektoreid s=(3;1) ja AB=(2;4): cosφ=10⋅203⋅2+1⋅4=10210=21, millest samuti φ=45∘.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Leia punkt M
Kolmandas küsimuses tuleb leida tipp C. Kõigepealt leiame mediaani otspunkti M. Vektori lõpp-punkti saame, kui liidame alguspunkti B(6;5) koordinaatidele vektori BM koordinaadid.