Lai riigieksam 2025, ülesanne 11: Pille ja Kalle rattasõit
Pille ja Kalle alustasid ja lõpetasid 60 km pikkuse rattasõidu üheaegselt.Teekonna teisel poolel oli Pille kiirus 20% võrra suurem kui esimesel 30 kilomeetril.Kalle sõitis 70% teekonnast kiirusega 14 km/h.Ülejäänud teeosal oli Kalle kiirus 2 km/h võrra väiksem kui Pillel teekonna esimesel poolel.
1.Arvutage Pille kiirus teekonna esimesel poolel, kui on teada, et tema kiirus ei langenud teekonna üheski osas alla 10 km/h.
2.Kui kaua kestis rattasõit?
Kirjalik kontroll ei ole kohustuslik.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2025, ülesanne 11
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 42,49% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: liikumine
s=v⋅t
Valemikaart: protsent
p% arvust a=100p⋅a
ba⋅100%(mitu protsenti on a arvust b)
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Tähista Pille kiirus teekonna esimesel poolel tähega v ja avalda kummagi sõiduaeg. Kuna nad alustasid ja lõpetasid korraga, on ajad võrdsed.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Avalda Pille sõiduaeg
Esimeses küsimuses tuleb leida Pille kiirus teekonna esimesel poolel. Tähistame selle v km/h. Teekonna pooled on kumbki 60:2=30 km.
Teisel poolel oli kiirus 20% võrra suurem ehk 120% esialgsest kiirusest.
v2=1,2v
Aja saame, kui jagame teepikkuse kiirusega. Liidame kahe poole ajad.
tP=v30+1,2v30
Lihtsustame teist murdu: 1,230=25.
tP=v30+v25=v55
Valemist s=vt saame t=vs. Suurendamine 20% võrra tähendab korrutamist arvuga 1+0,2=1,2.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Avalda Kalle sõiduaeg
Leiame, kui pika tee sõitis Kalle kiirusega 14 km/h.
0,7⋅60=42 (km)
Selleks kulunud aeg.
1442=3 (h)
Leiame ülejäänud tee pikkuse. Selle sõitis Kalle kiirusega v−2.
60−42=18 (km)
Liidame mõlema osa ajad.
tK=3+v−218
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Koosta ja lihtsusta võrrand
Mõlemad alustasid ja lõpetasid samal ajal, seega on nende sõiduajad võrdsed.
Võrdsustame sõiduajad.
v55=3+v−218
Korrutame võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga v(v−2); siin v=0 ja v=2.
55(v−2)=3v(v−2)+18v
Avame sulud.
55v−110=3v2−6v+18v
Viime kõik liikmed paremale poole ja koondame.
3v2−43v+110=0
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Lahenda ruutvõrrand
Kirjutame lahendivalemi.
v1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame a=3, b=−43 ja c=110.
v1;2=643±1849−1320=643±529=643±23
Arvutame esimese lahendi.
v1=643+23=666=11
Arvutame teise lahendi.
v2=643−23=620=310
432=1849 ja 4⋅3⋅110=1320. 529=23.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 1Samm 5: Vali sobiv lahend
Pille kiirus ei langenud alla 10 km/h, seega v≥10. Lahend 310≈3,3 ei sobi.
310<10
Sobib v=11, siis on Pille kiirus teisel poolel 1,2⋅11=13,2 km/h.
v=11 (km/h)
Pille kiirused on v ja 1,2v; mõlemad on vähemalt 10 km/h täpselt siis, kui v≥10. Tingimus käib ainult Pille kohta. Kalle kiirus ülejäänud teeosal on 11−2=9 km/h, aga see ei ole tingimusega vastuolus.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Leia sõidu kestus
Teises küsimuses tuleb leida, kui kaua sõit kestis. Sõiduaja saame Pille aja avaldisest.
Asendame v=11.
t=1155=5 (h)
Kontrollime Kalle aja järgi: tema kiirus teisel osal oli 11−2=9 km/h.
tK=3+918=3+2=5 (h)
VASTUS
1) Pille kiirus teekonna esimesel poolel oli 11 km/h. 2) Rattasõit kestis 5 tundi.