Lai riigieksam 2025, ülesanne 10: Trapetsikujulise põhjaga püramiid

Ruumala jaoks on vaja põhja pindala ja püramiidi kõrgust. Alustame põhjast. Tähistame trapetsi $ABCD$ nii, et $AD = 22$ cm on pikem alus ja $BC$ lühem. Tõmbame tipust $C$ kõrguse $CK$ pikemale alusele. Tekib täisnurkne kolmnurk $DKC$, mille hüpotenuus on haar $DC = 8$ cm ja nurk $D = 60^\circ$.

Kõrgus $h = CK$ on nurga $D$ vastaskaatet, seega kasutame siinust.

Avaldame $h$ ja asendame $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Lõik $DK$ on nurga $D$ lähiskaatet, seega kasutame koosinust.

Võrdhaarse trapetsi lühem alus on mõlemast otsast $4$ cm võrra lühem kui pikem alus.

Kirjutame trapetsi pindala valemi.

Asendame alused $22$ ja $14$ ning kõrguse $4\sqrt{3}$.

Tipu projektsioon $E$ on lühema aluse $BC$ keskpunkt, seega $EB = EC = 7$ cm. Pikema aluse keskpunkt olgu $F$; lõik $EF$ on risti alustega ja võrdub trapetsi kõrgusega $4\sqrt{3}$ cm. Pikema aluse tippudeni jõuame täisnurksest kolmnurgast $AFE$.

Pool pikemast alusest.

Kasutame Pythagorase teoreemi kolmnurgas $AFE$, kus kaatetid on $AF = 11$ ja $EF = 4\sqrt{3}$.

Külgserv $SA$, selle projektsioon $AE$ ja püramiidi kõrgus $SE = H$ moodustavad täisnurkse kolmnurga $AES$, kus nurk $SAE = 30^\circ$.

Kõrgus $H$ on nurga $A$ vastaskaatet ja $AE$ lähiskaatet, seega kasutame tangensit.

Avaldame $H$ ja asendame $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Kirjutame püramiidi ruumala valemi.

Asendame põhja pindala ja kõrguse.

Kuna $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, kaovad juured.