Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2025, ülesanne 1
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 70,36% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Jäta juur üksi ühele poole võrdusmärki ja tõsta siis mõlemad pooled ruutu. Ära unusta lõpus kontrolli.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Jäta juur üksi
Juurest saame lahti ruutu tõstmisega. Enne seda jätame juure võrrandi ühele poolele üksi.
Viime liikmed 1 ja −x paremale poole. Teisele poole viies muutuvad nende märgid.
x+5=x−1
Kui juur on üksi ühel pool võrdusmärki, kaob see ruutu tõstmisel täielikult. Ruutjuur ei ole kunagi negatiivne, seega peab ka parem pool x−1 olema mittenegatiivne. Seda saab kasutada lõpus võõrlahendi äratundmiseks.
2Samm 2Peidetud
2
Samm 2: Tõsta mõlemad pooled ruutu
Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu.
(x+5)2=(x−1)2
Vasakul kaob juur. Paremal kasutame vahe ruudu valemit, kus esimene liige on x ja teine 1.
x+5=x2−2⋅x⋅1+12
Lihtsustame parema poole.
x+5=x2−2x+1
Vahe ruudu valem on (a−b)2=a2−2ab+b2. Ruutu tõstmine võib lisada võõrlahendeid, sest ka võrrandi −x+5=x−1 lahendid rahuldavad saadud võrrandit. Seepärast tuleb lõpus teha kontroll.
3Samm 3Peidetud
3
Samm 3: Korrasta ruutvõrrandiks
Viime liikmed x ja 5 paremale poole ning kirjutame võrrandi nii, et null on paremal.
x2−2x−x+1−5=0
Koondame sarnased liikmed.
x2−3x−4=0
4Samm 4Peidetud
4
Samm 4: Lahenda ruutvõrrand
Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.
x1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame a=1, b=−3 ja c=−4.
x1;2=2⋅13±(−3)2−4⋅1⋅(−4)=23±9+16
Arvutame ruutjuure.
23±9+16=23±25=23±5
Esimese lahendi saame plussmärgiga.
x1=23+5=28=4
Teise lahendi saame miinusmärgiga.
x2=23−5=2−2=−1
5Samm 5Peidetud
5
Samm 5: Kontrolli lahendit x = 4
Ruutu tõstmine võis lisada võõrlahendi, seega asendame mõlemad väärtused esialgsesse võrrandisse.
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x=4.
vp=1−4+4+5=−3+9=−3+3=0
Võrrandi parem pool on null.
pp=0
Vasak ja parem pool on võrdsed, seega x=4 sobib.
vp=pp
6Samm 6Peidetud
6
Samm 6: Kontrolli lahendit x = −1
Arvutame võrrandi vasaku poole, kui x=−1. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
vp=1−(−1)+−1+5=2+4=2+2=4
Võrrandi parem pool on null.
pp=0
Vasak ja parem pool ei ole võrdsed, seega x=−1 on võõrlahend.
vp=pp
Võõrlahendi oleks ära tundnud ka esimese sammu tingimusest: kui x=−1, siis x−1=−2<0, aga ruutjuur ei saa olla negatiivne.