Ott võitis autoralli etapi, mille pikkuseks oli 13,2 km. Selle etapi läbimiseks kulus Otil 8 sekundit vähem kui Markol, kelle keskmine kiirus oli Oti keskmisest kiirusest 2 km/h võrra väiksem.
1.Leidke Oti keskmine kiirus sellel etapil.
2.Millise ajaga läbis etapi Marko? Vastus esitage minutites ja sekundites.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2022, ülesanne 10
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 50,2% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: liikumine
s=v⋅t
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Tähista Oti keskmine kiirus x km/h ja avalda mõlema sõitja aeg tundides. Ajavahe 8 sekundit tuleb samuti teisendada tundideks.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Teisenda ajavahe tundideks
Esimeses küsimuses tuleb leida Oti keskmine kiirus. Kiirused on antud kilomeetrites tunnis, seega peab ka aeg olema tundides.
Ühes tunnis on 3600 sekundit.
8 s=36008 h=4501 h
Taandasime murru 36008 arvuga 8. Kui ühikud ei klapi (km/h ja sekundid), tuleb võrrand vale.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Avalda mõlema sõitja aeg
Tähistame Oti keskmise kiiruse x km/h. Aja saame valemist s=v⋅t, kust t=vs.
Oti kiirus ja aeg.
vOtt=x,tOtt=x13,2
Marko kiirus on 2 km/h väiksem.
vMarko=x−2,tMarko=x−213,2
Marko sõitis aeglasemalt, seega kulus tal rohkem aega. Kiirus peab olema positiivne, seega x>2.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Koosta võrrand
Markol kulus 8 sekundit ehk 4501 tundi rohkem kui Otil.
Marko aeg miinus Oti aeg on ajavahe.
x−213,2−x13,2=4501
Suuremast ajast lahutame väiksema, siis on vahe positiivne.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Vabane murdudest
Korrutame võrrandi mõlemaid pooli ühise nimetajaga 450x(x−2).
13,2⋅450⋅x−13,2⋅450⋅(x−2)=x(x−2)
Arvutame 13,2⋅450=5940 ja avame sulud.
5940x−5940x+11880=x2−2x
Liikmed 5940x ja −5940x koonduvad. Viime kõik liikmed ühele poole.
x2−2x−11880=0
Esimese murru nimetaja x−2 taandub ja jääb 450x, teise murru nimetaja x taandub ja jääb 450(x−2), paremal jääb x(x−2). Korrutada tohib, sest x>2, seega ühine nimetaja ei ole null.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 1Samm 5: Lahenda ruutvõrrand
Kasutame lahendivalemit, kus a=1, b=−2 ja c=−11880.
x1;2=22±(−2)2−4⋅1⋅(−11880)=22±47524=22±218
Leiame mõlemad lahendid.
x1=22+218=110,x2=22−218=−108
Kiirus ei saa olla negatiivne, seega sobib ainult x1.
x=110 km/h
Diskriminant on 4+47520=47524 ja 47524=218. Tingimus x>2 jätab alles ainult lahendi 110.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Leia Marko aeg
Teises küsimuses tuleb leida Marko aeg minutites ja sekundites. Marko keskmine kiirus oli 110−2=108 km/h.
Jagame teepikkuse Marko kiirusega.
tMarko=10813,2 h=9011 h
Teisendame sekunditeks, korrutades 3600-ga.
9011⋅3600 s=11⋅40 s=440 s
440 sekundit on 7 täisminutit (7⋅60=420 s) ja 20 sekundit.
440 s=7 min 20 s
Kontroll: Oti aeg on 11013,2=0,12 h ehk 0,12⋅3600=432 s. Marko aeg on 8 s rohkem ehk 440 s. Mõlemal viisil tuleb sama tulemus.
VASTUS
1) Oti keskmine kiirus sellel etapil oli 110 km/h. 2) Marko läbis etapi 7 minuti ja 20 sekundiga.