Lai riigieksam 2020, ülesanne 1: Juuri sisaldavate murdude korrutis
On antud murrud A=a+aa−4 ja B=a+2aaa+a, kus arv a on positiivne reaalarv.
1.Koostage avaldis A⋅B ja lihtsustage see.
2.Leidke arvu a väärtus, mille korral korrutis A⋅B=1.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2020, ülesanne 1
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kuna a>0, võib kirjutada a=(a)2. Tegurda mõlema murru lugeja ja nimetaja; pärast korrutamist taandub suur osa tegureid ära.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Tegurda murd A
Esimeses küsimuses tuleb korrutis A⋅B lihtsustada. Enne korrutamist tegurdame mõlema murru lugeja ja nimetaja, siis on näha, mis taandub. Kuna a>0, kehtib a=(a)2.
Lugeja on ruutude vahe, kus esimene liige on a ja teine liige 2.
a−4=(a)2−22=(a−2)(a+2)
Nimetajas kirjutame a=a⋅a ja toome a sulgude ette.
a+a=a⋅a+a=a(a+1)
Kirjutame murru A tegurdatud kujul.
A=a(a+1)(a−2)(a+2)
Ruutude vahe valem x2−y2=(x−y)(x+y) kehtib ka siis, kui x=a. Sulgude ette toomisel jääb liikmest a sulgudesse 1, sest a=a⋅1.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Tegurda murd B
Lugejas toome sulgude ette a.
aa+a=a(a+1)
Nimetajas kirjutame a=a⋅a ja toome a sulgude ette.
a+2a=a⋅a+2a=a(a+2)
Kirjutame murru B tegurdatud kujul.
B=a(a+2)a(a+1)
Lugeja mõlemas liikmes on tegur a, nimetaja mõlemas liikmes tegur a. Sulgudesse jäävad avaldised a+1 ja a+2, millest esimene on sama mis murru A nimetajas.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Korruta murrud ja taanda
Murdude korrutamisel korrutame lugejad omavahel ja nimetajad omavahel.
A⋅B=a(a+1)⋅a(a+2)(a−2)(a+2)⋅a(a+1)
Nimetajas on a⋅a=a.
A⋅B=a(a+1)(a+2)(a−2)(a+2)⋅a(a+1)
Taandame tegurid a, a+1 ja a+2.
A⋅B=a−2
Taandada võib ainult nullist erineva teguriga. Kuna a>0, siis a>0 ning tegurid a, a+1 ja a+2 on kõik positiivsed. Seega kehtib tulemus iga positiivse a korral.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Lahenda võrrand
Teises küsimuses tuleb leida a, mille korral A⋅B=1. Kasutame lihtsustatud avaldist.
Võrdsustame lihtsustatud korrutise ühega.
a−2=1
Viime arvu 2 paremale poole.
a=3
Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu.
a=9
Võrrandi a=3 parem pool on positiivne, seega ruutu tõstmine võõrlahendit ei anna: 9=3. Arv 9 on positiivne, nagu ülesanne nõuab.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Kontrolli algsete murdudega
Arvutame murru A väärtuse, kui a=9 ja 9=3.
A=9+39−4=125
Arvutame murru B väärtuse, kui a=9.
B=9+2⋅39⋅3+9=1536=512
Korrutame leitud väärtused.
A⋅B=125⋅512=1
Kontroll algsetest murdudest näitab, et ka lihtsustamine oli õige.
VASTUS
1) Lihtsustatud korrutis on A⋅B=a−2. 2) Korrutis A⋅B=1, kui a=9.