Suveniiripoes müüakse ühesugustesse karpidesse pakitud siniseid ja punaseid kruuse. Igas karbis on üks kruus. Riiulil oli 10 sinise kruusiga karpi ja 14 punase kruusiga karpi. Kui suur on tõenäosus sellelt riiulilt nelja juhusliku karbi võtmisel saada
1)üks sinine ja kolm punast kruusi?
2)vähemalt kolm punast kruusi?
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2018, ülesanne 4
Valemikaart: kombinatoorika
Pn=n!
Ank=(n−k)!n!
Cnk=k!(n−k)!n!
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Karbid on ühesugused, seega on iga nelja karbi valik võrdvõimalik. Loe kokku kõik valikud ja soodsad valikud kombinatsioonide arvu abil.
1Samm 1Peidetud
1
Samm 1: Leia kõigi võimaluste arv
Riiulil on kokku 10+14=24 karpi ja neist võetakse 4. Järjekord pole oluline, seega on iga valik 24 elemendi kombinatsioon 4 kaupa.
Kirjutame kombinatsioonide arvu valemi.
Cnk=k!(n−k)!n!
Asendame n=24 ja k=4. Pärast taandamist jääb lugejasse neli suurimat tegurit.
C244=4!⋅20!24!=1⋅2⋅3⋅424⋅23⋅22⋅21
Arvutame lugeja ja nimetaja ning jagame.
1⋅2⋅3⋅424⋅23⋅22⋅21=24255024=10626
Karbid on ühesugused, nii et ostja ei näe, mis värvi kruus sees on. Seega on iga nelja karbi valik ühesuguse tõenäosusega ja saame kasutada klassikalist tõenäosust.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia ühe sinise ja kolme punase tõenäosus
Esimeses küsimuses on soodsad need valikud, kus kümnest sinisest on võetud üks ja neljateistkümnest punasest kolm.
Sinise kruusi saab valida 10 viisil, kolm punast neljateistkümnest C143 viisil.
C143=1⋅2⋅314⋅13⋅12=62184=364
Korrutame valikute arvud, sest iga sinise saab paari panna iga punaste kolmikuga.
C101⋅C143=10⋅364=3640
Tõenäosus on soodsate võimaluste arv jagatud kõigi võimaluste arvuga. Taandame murdu arvuga 14.
P1=106263640=759260≈0,343
Korrutamislause: kui esimest valikut saab teha m ja teist n viisil, siis mõlemat koos m⋅n viisil. Taandamine: 3640=14⋅260 ja 10626=14⋅759.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Leia nelja punase valikute arv
Teises küsimuses on vaja vähemalt kolme punast kruusi. See tähendab, et punaseid on kolm (ja üks sinine) või neli (ja ühtegi sinist). Esimese juhu valikud loendasime juba, nüüd loendame teise juhu.
Valime neljateistkümnest punasest neli.
C144=1⋅2⋅3⋅414⋅13⋅12⋅11=2424024=1001
„Vähemalt kolm“ tähendab „kolm või rohkem“. Rohkem kui neli punast ei saa olla, sest karpe võetakse ainult neli.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia vähemalt kolme punase tõenäosus
Kaks juhtu ei saa toimuda korraga, seega liidame nende soodsate valikute arvud.
Liidame kolme punase ja nelja punase valikud.
3640+1001=4641
Jagame kõigi võimaluste arvuga ja taandame murdu arvuga 21.
P2=106264641=506221≈0,437
Taandamine: 4641=21⋅221 ja 10626=21⋅506. Sama tulemus tuleb, kui liita tõenäosused: 106263640+106261001.
VASTUS
1) Ühe sinise ja kolme punase kruusi saamise tõenäosus on 759260≈0,343. 2) Vähemalt kolme punase kruusi saamise tõenäosus on 506221≈0,437.