Lai riigieksam 2017, ülesanne 12: Koonuse tippu läbiv lõige

Esimeses küsimuses tuleb teha joonis. Tähistame koonuse tipu $S$ ja põhja keskpunkti $O$. Tasand läbib tippu ja lõikab põhja ringjoont punktides $A$ ja $B$, seega on lõige kolmnurk $SAB$.

Kaar $AB$ on $60^\circ$, seega on sellele vastav kesknurk samuti $60^\circ$.

Olgu $M$ kõõlu $AB$ keskpunkt. Siis $OM \perp AB$ ja $SM \perp AB$, seega on nurk lõike ja põhja vahel nurk $SMO$.

Teises küsimuses on vaja lõike pindala. Alustame põhja raadiusest.

Kirjutame ringi pindala valemi.

Põhja pindala on $48\pi$.

Võtame ruutjuure ja toome teguri juure alt välja, sest $48 = 16 \cdot 3$.

Kolmnurgas $AOB$ on $OA = OB = r$ ja nendevaheline nurk $60^\circ$. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on $\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$, seega on kolmnurk $AOB$ võrdkülgne.

Võrdkülgse kolmnurga kõik küljed on võrdsed.

Kolmnurk $OMA$ on täisnurkne (täisnurk on tipus $M$), hüpotenuus $OA = 4\sqrt{3}$ ja nurk $AOM = 30^\circ$, sest $OM$ poolitab nurga $AOB$.

Lähiskaatet on hüpotenuusi ja nurga koosinuse korrutis.

Asendame $OA = 4\sqrt{3}$ ja $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Kolmnurk $SOM$ on täisnurkne, sest koonuse kõrgus $SO$ on põhjaga risti. Nurk $SMO = 45^\circ$, seega on see kolmnurk ka võrdhaarne.

Kaatetid on võrdsed, sest $\tan 45^\circ = 1$.

Hüpotenuus $SM$ on lähiskaateti ja nurga koosinuse jagatis.

Lõige on kolmnurk $SAB$, mille alus on $AB$ ja sellele tõmmatud kõrgus $SM$.

Kirjutame kolmnurga pindala valemi.

Asendame $a = AB = 4\sqrt{3}$ ja $h = SM = 6\sqrt{2}$.