Lai riigieksam 2017, ülesanne 11: Aritmeetilise jada liige ja summa
Kasvava aritmeetilise jada kolmanda ja seitsmenda liikme summa on 350 ning viienda ja neljanda liikme vahe on 35.
1.Arvutage selle jada üheksas liige ja esimese üheksa liikme summa.
2.Üks selle jada liige an moodustab täpselt 10% esimese n liikme summast. Mitmes jada liige on an?
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2017, ülesanne 11
Valemikaart: aritmeetiline jada
an=a1+(n−1)d
Sn=2(a1+an)⋅n
Valemikaart: protsent
p% arvust a=100p⋅a
ba⋅100%(mitu protsenti on a arvust b)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kahe järjestikuse liikme vahe on jada vahe d. Kirjuta a3 ja a7 esimese liikme ja vahe kaudu. Teises küsimuses kirjuta nii an kui ka Sn muutuja n kaudu.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia jada vahe
Esimeses küsimuses on vaja üheksandat liiget ja summat. Selleks leiame jada vahe d ja esimese liikme a1. Aritmeetilises jadas on iga kahe järjestikuse liikme vahe võrdne jada vahega.
Viies ja neljas liige on järjestikused liikmed.
d=a5−a4=35
Kuna d=35>0, on jada tõesti kasvav.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia esimene liige
Kirjutame üldliikme valemi.
an=a1+(n−1)d
Kirjutame kolmanda ja seitsmenda liikme valemi järgi.
a3=a1+2d,a7=a1+6d
Nende summa on 350.
a1+2d+a1+6d=350⇒2a1+8d=350
Asendame d=35.
2a1+280=350
Viime arvu 280 paremale ja jagame mõlemaid pooli arvuga 2.
2a1=70⇒a1=35
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Arvuta üheksas liige ja summa
Asendame üldliikme valemisse n=9.
a9=a1+8d=35+8⋅35=35+280=315
Kirjutame esimese n liikme summa valemi.
Sn=2(a1+an)⋅n
Asendame a1=35, a9=315 ja n=9.
S9=2(35+315)⋅9=2350⋅9=175⋅9=1575
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Kirjuta liige ja summa muutuja n kaudu
Teises küsimuses on vaja leida n. Kirjutame kõigepealt an ja Sn muutuja n kaudu, kui a1=35 ja d=35.
Üldliige.
an=35+(n−1)⋅35=35+35n−35=35n
Esimese n liikme summa.
Sn=2(35+35n)⋅n=235n(n+1)
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Koosta ja lahenda võrrand
Liige an moodustab 10% summast Sn.
an=0,1⋅Sn
Asendame avaldised.
35n=0,1⋅235n(n+1)
Jagame mõlemaid pooli arvuga 35n.
1=20,1(n+1)
Korrutame mõlemaid pooli arvuga 20.
20=n+1
Lahutame mõlemast poolest 1.
n=19
Jagada tohib, sest n on liikme järjekorranumber, seega n≥1 ja 35n=0. Kontroll: a19=35⋅19=665 ja S19=235⋅19⋅20=6650; 10% arvust 6650 on 665.
VASTUS
1) Jada üheksas liige on 315 ja esimese üheksa liikme summa on 1575. 2) Liige an on jada 19. liige (a19=665 ja S19=6650).