Lai riigieksam 2015, ülesanne 6: Logaritmvõrrand ja parameeter

Esimeses küsimuses tuleb lahendada logaritmvõrrand. Logaritm on määratud ainult positiivsest arvust, seega peavad mõlemad logaritmitavad, mis sisaldavad $x$-i, olema positiivsed.

Esimene logaritmitav peab olema positiivne.

Teine logaritmitav peab olema positiivne.

Mõlemad tingimused korraga annavad määramispiirkonna.

Kasutame jagatise logaritmi valemit.

Logaritmide vahe võrrandi paremal poolel on jagatise logaritm. Taandame murru.

Kirjutame võrrandi uuel kujul.

Kui kahe sama alusega logaritmi väärtused on võrdsed, siis on võrdsed ka logaritmitavad.

Võrdsustame logaritmitavad.

Korrutame võrrandi mõlemaid pooli $x$-iga ($x > 0$, seega $x \ne 0$).

Viime kõik liikmed paremale poole.

Jagame mõlemaid pooli arvuga $1{,}5$.

Kirjutame lahendivalemi, kus $a = 2$, $b = -3$ ja $c = 1$.

Asendame kordajad.

Arvutame mõlemad lahendid.

Mõlemad lahendid on vahemikus $0 < x < 1{,}5$. Kontrollime neid ka algses võrrandis.

Arvutame vasaku poole, kui $x = 0{,}5$.

Arvutame parema poole, kui $x = 0{,}5$.

Vasak ja parem pool on võrdsed, seega $x = 0{,}5$ sobib.

Arvutame vasaku poole, kui $x = 1$.

Arvutame parema poole, kui $x = 1$.

Vasak ja parem pool on võrdsed, seega ka $x = 1$ sobib.

Teises küsimuses tuleb leida $a$. Avaldis $f(x + a)$ tähendab, et funktsiooni valemis asendame $x$ avaldisega $x + a$.

Kirjutame $f(x + a)$ välja.

Lahend $x = 0{,}5$ peab võrrandit $2f(x + a) = 1$ rahuldama. Asendame $x = 0{,}5$.

Avame sulud logaritmi sees.

Lihtsustame ja jagame mõlemaid pooli arvuga $2$.

Logaritmi definitsiooni järgi $\log_4 b = 0{,}5$ tähendab, et $4^{0{,}5} = b$.

Viime arvu $3$ paremale poole.

Jagame mõlemaid pooli arvuga $-3$.

Arvutame vasaku poole, kui $x = 0{,}5$ ja $a = \frac{1}{3}$. Siis $x + a = \frac{5}{6}$.

Võrrandi parem pool.

Vasak ja parem pool on võrdsed.