Osteti pakk Kreeka pähkleid. Tõenäosus, et pakist võetakse tuumata (seest tühi) pähkel, on maaletooja väitel 0,05. Kui suur on tõenäosus, et pakist juhuslikult võetud
1)viiest pähklist on täpselt 2 pähklit tühjad;
2)kümnest pähklist on vähemalt 1 pähkel tühi?
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2015, ülesanne 4
Valemikaart: bernoulli valem
Pn(k)=Cnk⋅pk⋅qn−k,q=1−p
n katset,ko˜nnestumist,po˜nnestumise to˜ena¨osus
Valemikaart: kombinatoorika
Pn=n!
Ank=(n−k)!n!
Cnk=k!(n−k)!n!
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Iga pähkel on eraldi katse, mille õnnestumise tõenäosus on 0,05. Esimeses küsimuses sobib Bernoulli valem, teises on lihtsam arvutada vastandsündmuse tõenäosus.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Kirjuta välja Bernoulli skeemi andmed
Esimeses küsimuses võetakse viis pähklit ja küsitakse, kui tõenäoline on, et täpselt kaks neist on tühjad. Iga pähkel on üks katse ja „õnnestumine“ tähendab, et pähkel on tühi.
Katseid on viis, õnnestumisi peab olema kaks, õnnestumise tõenäosus on 0,05.
n=5,k=2,p=0,05
Leiame tõenäosuse, et pähkel ei ole tühi.
q=1−p=1−0,05=0,95
Bernoulli valemit saab kasutada, kui sama katset korratakse mitu korda, katsed on üksteisest sõltumatud ja õnnestumise tõenäosus on igas katses sama. Siin eeldame, et iga pähkel on tühi tõenäosusega 0,05 sõltumata teistest.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Arvuta tõenäosus Bernoulli valemiga
Kirjutame Bernoulli valemi.
Pn(k)=Cnk⋅pk⋅qn−k
Asendame n=5, k=2, p=0,05 ja q=0,95.
P5(2)=C52⋅0,052⋅0,953
Arvutame kombinatsioonide arvu.
C52=2!⋅3!5!=25⋅4=10
Arvutame astmed ja korrutame.
P5(2)=10⋅0,0025⋅0,857375=0,021434375≈0,0214
C52=10 näitab, mitmel viisil saab viiest pähklist valida need kaks, mis on tühjad. Iga sellise valiku tõenäosus on 0,052⋅0,953 (kaks tühja ja kolm tervet pähklit).
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Mine üle vastandsündmusele
Teises küsimuses võetakse kümme pähklit. „Vähemalt üks tühi“ tähendab üht, kaht, kolme jne kuni kümmet tühja pähklit. Lihtsam on leida vastandsündmuse tõenäosus: ükski pähkel pole tühi.
Kirjutame tõenäosuse vastandsündmuse kaudu.
P(va¨hemalt 1 tu¨hi)=1−P(u¨kski pole tu¨hi)=1−P10(0)
Sündmus ja tema vastandsündmus annavad kokku kindla sündmuse, mille tõenäosus on 1. Muidu peaksime liitma kümme Bernoulli valemi tõenäosust P10(1)+P10(2)+…+P10(10).
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Arvuta tõenäosus
Kõik kümme pähklit on terved tõenäosusega 0,9510 (Bernoulli valem, kus k=0).
P10(0)=C100⋅0,050⋅0,9510=0,9510≈0,5987
Lahutame selle ühest.
P=1−0,9510≈1−0,5987=0,4013≈0,401
C100=1 ja 0,050=1. Täpsemalt 0,9510≈0,598737, seega P≈0,401263.
VASTUS
1) Tõenäosus, et viiest pähklist on täpselt 2 tühjad, on ligikaudu 0,0214. 2) Tõenäosus, et kümnest pähklist on vähemalt 1 tühi, on ligikaudu 0,401.