Kitsas riigieksam 2025, ülesanne 7: Koonus ja poolkoonus
Koonuse põhja ümbermõõt on 10π cm ja telglõike tipunurk on täisnurk.
1.Arvutage koonuse ruumala.
2.Koonus lõigatakse mööda telge pooleks. Arvutage tekkiva keha täispindala (vt parempoolset joonist).
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2025, ülesanne 7
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 27,18% punktidest (Harno aruanne).
Koonus
Ülesande joonis
S
Lohista, et pöörata
Poolkoonus
Ülesande joonis
S
Lohista, et pöörata
Valemikaart: ringjoon ja ring
C=2πr
S=πr2
Valemikaart: koonus
V=31πr2h
Sk=πrm,St=πr(r+m)
m on moodustaja,m2=r2+h2
Valemikaart: pythagorase teoreem
a2+b2=c2
a,b on kaatetid,c on hu¨potenuus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Ümbermõõdust saad põhja raadiuse. Täisnurkse tipunurgaga telglõige on võrdhaarne täisnurkne kolmnurk, seega on kõrgus võrdne raadiusega.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia põhja raadius
Esimeses küsimuses tuleb arvutada ruumala. Selleks on vaja põhja raadiust ja kõrgust. Raadiuse saame põhja ümbermõõdust.
Kirjutame ringjoone pikkuse valemi.
C=2πr
Asendame C=10π.
2πr=10π
Jagame mõlemaid pooli 2π-ga.
r=2π10π=5 cm
r=5 cmSO
Lohista, et pöörata
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia koonuse kõrgus
Telglõige on võrdhaarne kolmnurk, mille haarad on moodustajad ja alus on põhja diameeter. Tipunurk on täisnurk.
Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed ja nurkade summa on 180∘.
2180∘−90∘=45∘
Kõrgus jagab telglõike kaheks täisnurkseks kolmnurgaks kaatetitega r ja h. Kuna teravnurk on 45∘, on kaatetid võrdsed.
h=r=5 cm
h=5 cmr=5 cm45∘SO
Lohista, et pöörata
Täisnurkses kolmnurgas, mille üks teravnurk on 45∘, on ka teine teravnurk 45∘. Siis on kolmnurk võrdhaarne ja kaatetid on võrdsed. Sama tuleb tangensiga: tan45∘=rh=1, seega h=r.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Arvuta ruumala
Kirjutame koonuse ruumala valemi.
V=31πr2h
Asendame r=5 ja h=5.
V=31⋅π⋅52⋅5=3125π≈131 cm3
52⋅5=125. Täpne väärtus on 3125π≈130,9 cm³, mis ümardatult on 131 cm³.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia moodustaja
Teises küsimuses lõigatakse koonus telge pidi pooleks. Külgpindala arvutamiseks on vaja moodustajat m, mis on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus kaatetitega r ja h.
Kirjutame Pythagorase teoreemi.
m2=r2+h2
Asendame r=5 ja h=5 ning võtame ruutjuure.
m=52+52=50=52 cm
m=52 cmS
Lohista, et pöörata
50=25⋅2=52≈7,07.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Arvuta pinna osad
Poolkoonuse pind koosneb kolmest osast: pool koonuse põhjast, pool koonuse külgpinnast ja telglõike kolmnurk, mis tekkis lõikamisel.
Pool põhjast on pool ringi pindalast.
21πr2=21⋅π⋅52=12,5π
Pool külgpinnast on pool koonuse külgpindalast.
21πrm=21⋅π⋅5⋅52=12,52π
Telglõike kolmnurga alus on diameeter 2r=10 ja kõrgus h=5.
22r⋅h=210⋅5=25
m=52 cm25 cm2S
Lohista, et pöörata
Lõikamisel jaotuvad põhi ja külgpind kaheks võrdseks osaks, aga juurde tuleb uus tasane tahk: telglõike kolmnurk. Seda ei tohi unustada, sest see on tekkinud keha pinna osa.