Kitsas riigieksam 2021, ülesanne 8: Parabool, sirge ja kujundi pindala

On antud ruutfunktsioon $\esile{f}{f(x) = 3 + 2x - x^2}$ ja sirge $t$ , mis läbib punkte $A(0;\,3)$ ja $B(3;\,0)$ .

1.Joonestage juuresolevale koordinaattasandile funktsiooni $f(x)$ graafik.
2.Viirutage joonisel I veerandis asuv kujund, mida piiravad $x$ -telg ja $y$ -telg ning alaülesandes 1 joonestatud graafik. Arvutage selle kujundi pindala.
3.Joonestage koordinaattasandile sirge $t$ ja koostage sirge $t$ võrrand.
4.Näidake arvutuste abil, et sirge $t$ jaotab viirutatud kujundi kaheks võrdse pindalaga osaks.

Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2021, ülesanne 8

Lahenduse joonis

Selle joonise teed lahendamise käigus ise.

y = ax^2 + bx + c

x_h = -\frac{b}{2a} = \frac{x_1 + x_2}{2}

y_h = f(x_h)

ax^2 + bx + c = 0

x_{1;2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\int dx = x + C, \quad \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \ n \ne -1

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

\int e^x\,dx = e^x + C, \quad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C

\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C

C \text{ on konstant}

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

F \text{ on } f \text{ algfunktsioon: } F'(x) = f(x)

S = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx, \quad \text{kui } f(x) \ge g(x) \text{ lõigul } [a;\,b]

y = kx + b, \quad k = \tan\alpha

y - y_1 = k(x - x_1)

k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

\text{paralleelsed: } k_1 = k_2, \quad \text{ristuvad: } k_1 \cdot k_2 = -1

Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.