Kitsas riigieksam 2018, ülesanne 9: Kaarekujuline tee ja sirged teed
Punktist A punkti B saab liikuda mööda ringjoone kaare kujulist teed või mööda sirgeid teid (AO ja OB). Selle ringjoone raadius on OB=500 m ja kaarele AB vastav kesknurk on 113° (vt joonist).
1.Mitme minutiga jõuab jalakäija punktist A punkti B, kui ta liigub mööda sirgeid teid ja tema keskmine kiirus on 5 km/h?
2.Kumb vahemaa (kas kaarekujuline tee AB või teede AO ja OB summa) on lühem? Põhjendage oma vastust.
3.Plaanis on rajada uus sirge tee punktist A punkti B. Mitme meetri võrra lühendab rajatav tee AB hetkel lühimat vahemaad punktist A punkti B? NB! Lõppvastus ümardage täpsusega 1 meeter.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2018, ülesanne 9
Ülesande joonis
500 m113∘OAB
Valemikaart: liikumine
s=v⋅t
Valemikaart: ringjoone kaar ja ringi sektor
l=rα,S=2r2α(α radiaanides)
l=180∘πrα,S=360∘πr2α(α kraadides)
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kaare pikkuse annab valem l=180∘πrα. Sirge tee AB on võrdhaarse kolmnurga AOB alus, mille saad koosinusteoreemist.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia sirgete teede pikkus
Esimeses küsimuses liigub jalakäija mööda sirgeid teid AO ja OB. Mõlemad on ringjoone raadiused, seega AO=OB=500 m.
Liidame kahe tee pikkused.
AO+OB=500+500=1000 m=1 km
500 m500 m113∘OAB
Kiirus on antud kilomeetrites tunnis, seega teisendame teepikkuse kilomeetriteks: 1000 m =1 km.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Arvuta aeg
Avaldame liikumise valemist aja.
s=v⋅t⇒t=vs
Asendame s=1 km ja v=5 km/h.
t=51=0,2 h
Teisendame minutiteks: tunnis on 60 minutit.
t=0,2⋅60=12 min
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Arvuta kaare pikkus
Teises küsimuses võrdleme kaarekujulist teed sirgete teede summaga 1000 m. Kaare pikkuse leiame raadiuse ja kesknurga kaudu.
Kirjutame kaare pikkuse valemi, kui nurk on kraadides.
l=180∘πrα
Asendame r=500 m ja α=113∘.
l=180∘π⋅500⋅113∘=18056500π≈986,1 m
500 m500 m113∘l≈986,1 mOAB
Kaar on osa ringjoonest: kesknurk 113∘ on täispöördest 360113 osa, seega l=360113⋅2π⋅500. See on sama valem teisel kujul.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Võrdle teekondi
Võrdleme kaare pikkust sirgete teede summaga.
986,1 m<1000 m
Kaarekujuline tee on lühem.
l<AO+OB
Kaarekujuline tee on umbes 1000−986,1≈14 m lühem kui teed AO ja OB kokku.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Arvuta sirge tee AB pikkus
Kolmandas küsimuses rajatakse sirge tee AB. See on kolmnurga AOB külg, mille vastas on nurk 113∘ ning teised küljed on OA=OB=500 m.
Nurk 113∘ on nürinurk, seega selle koosinus on negatiivne ja liige −2⋅500⋅500⋅cos113∘ on positiivne. Sama tulemuse annab kõrgus tipust O: see poolitab kolmnurga, seega AB=2⋅500⋅sin56,5∘≈833,9 m.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Leia, kui palju tee lüheneb
Praegu on lühim tee kaarekujuline tee (≈986,1 m, vt teine küsimus). Uus tee on ≈833,9 m.
Lahutame kaare pikkusest sirge tee pikkuse.
986,1−833,9=152,2≈152 m
500 m500 m113∘≈833,9 ml≈986,1 mlüheneb ≈152 mOAB
Täpsemate väärtustega on vahe 986,11−833,89≈152,23 m, ümardatult samuti 152 m. Sirge lõik on alati lühem kui sama otspunktidega kaar.
VASTUS
1) Mööda sirgeid teid jõuab jalakäija punktist A punkti B12 minutiga. 2) Kaarekujuline tee on lühem, sest selle pikkus on umbes 986 m, aga teede AO ja OB summa on 1000 m. 3) Rajatav sirge tee AB (≈834 m) lühendab lühimat vahemaad umbes 152 meetri võrra.