Kitsas riigieksam 2017, ülesanne 7: Lend Tallinnast Sofiasse ümberistumisega
Ärimees peab lendama Tallinnast Sofiasse, mis asub Tallinnast 1860 km kaugusel. Otselende Tallinnast Sofiasse sel kuupäeval ei toimu ja ärimehel tuleb lennata ühe ümberistumisega kas Münchenis või Kiievis.
1.Kui lennata Kiievi kaudu, siis tuleb otselennuga võrreldes lennata 220 km rohkem.Lend Tallinnast Kiievisse on 40 km pikem kui Kiievist Sofiasse.Arvutage Tallinna ja Kiievi vahemaa.
2.On teada, et Tallinna ja Müncheni vahemaa on 1520 km ning nurk Müncheni-Tallinna ja Müncheni-Sofia lennuliinide vahel on 88,9° (vt joonist).Arvutage Müncheni ja Sofia vahemaa (vastus andke täpsusega 10 km).
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2017, ülesanne 7
Ülesande joonis
TallinnKiievSofiaMünchen
Valemikaart: siinusteoreem
sinαa=sinβb=sinγc
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Esimeses osas tähista Kiievi ja Sofia vahemaa tähega x ja koosta võrrand. Teises osas on kolmnurgas Tallinn–München–Sofia teada kaks külge ja nurk, mis on teadaoleva külje 1860 km vastas: kasuta siinusteoreemi.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Arvuta teekonna pikkus Kiievi kaudu
Esimeses küsimuses tuleb leida Tallinna ja Kiievi vahemaa. Kõigepealt leiame, kui pikk on kogu teekond Kiievi kaudu: see on otselennust 220 km pikem.
Liidame otselennu pikkusele 220 km.
TK+KS=1860+220=2080 km
Tähistame linnad algustähtedega: T = Tallinn, K = Kiiev, S = Sofia, M = München.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Koosta võrrand
Tähistame Kiievi ja Sofia vahemaa x km. Siis on Tallinna ja Kiievi vahemaa 40 km pikem ehk x+40 km.
Kahe lennu summa on kogu teekond.
(x+40)+x=2080
Tundmatuks on mugav võtta lühem vahemaa, siis tuleb teine vahemaa liitmisega.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Lahenda võrrand
Koondame vasakul pool sarnased liikmed.
2x+40=2080
Viime arvu 40 paremale poole.
2x=2040
Jagame mõlemaid pooli arvuga 2.
x=1020 km
Tallinna ja Kiievi vahemaa on 40 km pikem.
TK=1020+40=1060 km
1060 km1020 km1860 kmTallinnKiievSofiaMünchen
Kontroll: 1060+1020=2080=1860+220 ja 1060−1020=40.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia nurk Sofia juures
Teises küsimuses vaatame kolmnurka TMS. Teame külgi TM=1520 km ja TS=1860 km ning nurka M=88,9∘, mis on külje TS vastas. Siinusteoreemiga saame nurga S, mis on külje TM vastas.
Siinuse väärtusele 0,8171 vastab ka nürinurk 180∘−54,8∘=125,2∘, aga see ei sobi: külg TM=1520 on lühem kui TS=1860, seega on nurk S väiksem kui nurk M=88,9∘. Taskuarvutil kasuta kraadirežiimi ja pöördfunktsiooni sin−1.
Sama vastuse annab koosinusteoreem: 18602=15202+MS2−2⋅1520⋅MS⋅cos88,9∘. See on ruutvõrrand MS2−58,36⋅MS−1149200=0, mille positiivne lahend on MS≈1101,6 km.
VASTUS
1) Tallinna ja Kiievi vahemaa on 1060 km. 2) Müncheni ja Sofia vahemaa on täpsusega 10 km umbes 1100 km.