Kitsas riigieksam 2017, ülesanne 5: Loogikaülesande auhindade loosimine
Ajakirjas oli loogikaülesanne, mille lahendajad võisid saada auhindu. Oma lahenduse saatis 10 erinevat inimest ja lahenduste eest jagati punkte järgmiselt:
27; 30; 30; 27; 24; 32; 30; 29; 25; 32.
Nende lahendajate vahel, kelle tulemus oli keskmisest lahendustulemusest suurem, loositi välja kaks ühesugust auhinda.
1.Koostage lahendustulemuste põhjal sagedustabel.Mitu lahendajat osales auhindade loosimisel?
2.Mitmel erineval viisil võis jagada kaks auhinda?
3.Kui suur oli tõenäosus, et auhinna sai lahendaja, kelle tulemus oli 24 punkti?
4.Kui suur oli tõenäosus, et auhinnad läksid kahele parimale lahendajale?
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2017, ülesanne 5
Valemikaart: aritmeetiline keskmine
x=nx1+x2+…+xn
Valemikaart: kombinatoorika
Pn=n!
Ank=(n−k)!n!
Cnk=k!(n−k)!n!
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kõigepealt leia keskmine tulemus. Auhinnad on ühesugused, seega pole vahet, kumb võitja kumma auhinna saab: loeme kahest inimesest koosnevaid paare.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Koosta sagedustabel
Esimeses küsimuses tuleb koostada sagedustabel. Kirjutame iga erineva tulemuse kasvavas järjekorras ja loeme, mitu korda see andmetes esineb.
Tabelis on tulemus x ja selle sagedus f ehk lahendajate arv.
xf241251272291303322
Kontrollime, et sagedusi on kokku nii palju kui lahendajaid.
27<28,6, seega 27-punktilised lahendajad loosimisel ei osalenud.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia auhindade jagamise viiside arv
Teises küsimuses tuleb leida, mitmel viisil saab kuue inimese vahel jagada kaks ühesugust auhinda. Auhinnad on ühesugused, seega järjekord ei loe: valime kuuest inimesest kaheliikmelise rühma. See on kombinatsioon.
Kirjutame kombinatsioonide arvu valemi.
Cnk=k!(n−k)!n!
Asendame n=6 ja k=2.
C62=2!⋅4!6!=2⋅16⋅5=15
4!6!=6⋅5, sest 6!=6⋅5⋅4!. Kui auhinnad oleksid erinevad, oleks viise kaks korda rohkem (6⋅5=30), aga ühesuguste auhindade korral on paarid „Mari ja Jüri“ ning „Jüri ja Mari“ sama jagamine.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Leia tõenäosus 24-punktilisele lahendajale
Kolmandas küsimuses on vaja tõenäosust, et auhinna sai 24 punktiga lahendaja. Tema tulemus 24 on keskmisest 28,6 väiksem, seega ta loosimisel ei osalenud.
Soodsaid võimalusi pole ühtegi, kõiki võimalusi on 15.
P=150=0
Sündmus on võimatu, sellepärast on tõenäosus null.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 4Samm 6: Leia tõenäosus kahele parimale
Neljandas küsimuses on vaja tõenäosust, et auhinnad läksid kahele parimale lahendajale. Parim tulemus 32 punkti oli täpselt kahel lahendajal, seega on soodne ainult üks paar.
Kirjutame klassikalise tõenäosuse valemi.
P=nk
Soodsaid võimalusi on k=1, kõiki võimalusi n=15.
P=151≈0,067
151≈0,0667 ehk umbes 6,7%.
VASTUS
1) Sagedustabel on lahenduses; keskmine tulemus on 28,6 punkti ja loosimisel osales 6 lahendajat. 2) Kaks auhinda võis jagada 15 erineval viisil. 3) Tõenäosus, et auhinna sai 24 punktiga lahendaja, oli 0, sest ta loosimisel ei osalenud. 4) Tõenäosus, et auhinnad läksid kahele parimale lahendajale, oli 151≈0,067.