Kitsas riigieksam 2016, ülesanne 8: Kolmnurk vektori abil, sirge ja ristsirge
Kolmnurga ABCkaks tippu on punktides A(4;−3) ja B(8;5) ning kolmnurga ühe külje määrab vektor BC=(−10;−1).
1.Arvutage punkti C koordinaadid ja joonestage antud koordinaatteljestikku kolmnurk ABC.
2.Arvutage lõigu AB pikkus.
3.Koostage sirge AB võrrand.
4.Koostage kolmnurga ABC tippu C läbiva ja sirgega AB ristuva sirge võrrand.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2016, ülesanne 8
Lahenduse joonis
Selle joonise teed lahendamise käigus ise.
110xyA(4;−3)B(8;5)
Valemikaart: vektorid
AB=(x2−x1;y2−y1)
∣a∣=ax2+ay2
a⋅b=axbx+ayby=∣a∣⋅∣b∣⋅cosφ
a⊥b⟺a⋅b=0
Valemikaart: kahe punkti kaugus ja lõigu keskpunkt
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
M(2x1+x2;2y1+y2)
Valemikaart: sirge võrrand
y=kx+b,k=tanα
y−y1=k(x−x1)
k=x2−x1y2−y1
paralleelsed: k1=k2,ristuvad: k1⋅k2=−1
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Punkti C saad, kui liidad punkti B koordinaatidele vektori BC koordinaadid. Ristuvate sirgete tõusude korrutis on −1.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia punkti C koordinaadid
Esimeses küsimuses tuleb leida punkt C. Vektori koordinaadid on lõpp- ja alguspunkti koordinaatide vahed, seega saame lõpp-punkti C, kui liidame alguspunkti B koordinaatidele vektori koordinaadid.
Kirjutame vektori koordinaatide valemi.
BC=(xC−xB;yC−yB)
Avaldame punkti C koordinaadid ja asendame B(8;5) ning BC=(−10;−1).
C(8+(−10);5+(−1))=C(−2;4)
110xyA(4;−3)B(8;5)C(−2;4)
xC−8=−10, seega xC=−2, ja yC−5=−1, seega yC=4. Jooniselt: punktist B liigume 10 ühikut vasakule ja 1 ühiku alla.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Joonesta kolmnurk
Kanname punktid A(4;−3), B(8;5) ja C(−2;4) teljestikku ja ühendame need lõikudega.
Kolmnurga tipud on
A(4;−3),B(8;5),C(−2;4)
110xyA(4;−3)B(8;5)C(−2;4)
Punkti kandmisel teljestikku liigume esmalt mööda x-telge ja siis y-telje sihis: näiteks punkti C jaoks 2 ühikut vasakule ja 4 ühikut üles.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Arvuta lõigu AB pikkus
Teises küsimuses on vaja kahe punkti vahelist kaugust.
Kirjutame kahe punkti vahelise kauguse valemi.
∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2
Asendame A(4;−3) ja B(8;5).
∣AB∣=(8−4)2+(5−(−3))2=42+82=16+64=80
Lihtsustame juurt ja arvutame ligikaudse väärtuse.
80=16⋅5=45≈8,94
110xy80≈8,94A(4;−3)B(8;5)C(−2;4)
5−(−3)=5+3=8. Juure lihtsustamisel toome välja täisruudu: 80=16⋅5 ja 16=4.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 3Samm 4: Leia sirge AB tõus
Kolmandas küsimuses on vaja sirge AB võrrandit. Kõigepealt leiame sirge tõusu kahe punkti kaudu.
Kirjutame tõusu valemi.
k=x2−x1y2−y1
Asendame A(4;−3) ja B(8;5).
kAB=8−45−(−3)=48=2
Tõus näitab, mitu ühikut tõuseb y, kui x suureneb ühe ühiku võrra. Siin x suureneb 4 ja y suureneb 8 ühikut.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Koosta sirge AB võrrand
Kirjutame sirge võrrandi punkti A(4;−3) ja tõusu k=2 kaudu.
y−(−3)=2(x−4)
Avame sulud.
y+3=2x−8
Viime arvu 3 paremale poole.
y=2x−11
110xy80≈8,94y=2x−11A(4;−3)B(8;5)C(−2;4)
Kontroll punktiga B(8;5): 2⋅8−11=16−11=5. Punkt B on sirgel.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 4Samm 6: Koosta ristuva sirge võrrand
Neljandas küsimuses on vaja sirget, mis läbib punkti C ja on risti sirgega AB. Ristuvate sirgete tõusude korrutis on −1.
Kirjutame ristseisu tingimuse.
kAB⋅k=−1
Asendame kAB=2 ja avaldame k.
k=−21
Kirjutame sirge võrrandi punkti C(−2;4) ja tõusu k=−21 kaudu.
y−4=−21(x−(−2))
Avame sulud.
y−4=−21x−1
Viime arvu −4 paremale poole.
y=−21x+3
110xy80≈8,94y=2x−11y=−21x+3A(4;−3)B(8;5)C(−2;4)
Kontroll punktiga C: −21⋅(−2)+3=1+3=4. Punkt C on sirgel. Joonisel on näha, et sirge lõikab sirget AB täisnurga all.
VASTUS
1) Punkt C on C(−2;4) ja kolmnurk ABC on joonisel. 2) Lõigu AB pikkus on 80=45≈8,94. 3) Sirge AB võrrand on y=2x−11. 4) Tippu C läbiva ja sirgega AB ristuva sirge võrrand on y=−21x+3.