Kitsas riigieksam 2016, ülesanne 7: Kolmnurkne maatükk ja lühim teelõik
Kolmnurkse maatüki ABCkülg AB on 437 m ja külg AC on 270 m. Nurk antud külgede vahel on 114∘.
1.Arvutage maatüki kolmas külg BC meetrites (ümardage ühelisteni) ja maatüki pindala hektarites (ümardage sajandikeni).
2.Soovitakse rajada võimalikult lühike teelõik maatüki tipust A küljeni BC. Kui pikk teelõik meetrites (ümardage ühelisteni) tuleks rajada?
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2016, ülesanne 7
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Valemikaart: kolmnurga pindala kahe külje ja nurga kaudu
S=21absinγ
γ on ku¨lgede a ja b vaheline nurk
Valemikaart: kolmnurga pindala
S=2a⋅h
h on ku¨ljele a to˜mmatud ko˜rgus
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Teada on kaks külge ja nendevaheline nurk: kolmas külg tuleb koosinusteoreemist ja pindala siinusega. Lühim teelõik tipust küljeni on kolmnurga kõrgus.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia külg BC koosinusteoreemiga
Esimeses küsimuses tuleb leida kolmas külg BC. Kolmnurgas on teada kaks külge ja nendevaheline nurk, seega saame kolmanda külje koosinusteoreemiga.
Kirjutame koosinusteoreemi külje BC jaoks. Nurk A on külgede AB ja AC vahel.
BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos∠A
Asendame AB=437, AC=270 ja ∠A=114∘. Nürinurga koosinus on negatiivne.
cos114∘≈−0,40674 ja 2⋅437⋅270=235980, seega −235980⋅(−0,40674)≈+95981,7. Miinus korda miinus annab plussi, nii et nürinurga vastas olev külg on pikem kui teised. Taskuarvutil peab olema kraadirežiim (DEG).
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Arvuta maatüki pindala
Pindala jaoks on samuti teada kaks külge ja nendevaheline nurk, seega kasutame siinusega pindala valemit.
Kirjutame kolmnurga pindala valemi kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu.
S=21⋅AB⋅AC⋅sin∠A
Asendame AB=437, AC=270 ja ∠A=114∘.
S=21⋅437⋅270⋅sin114∘=58995⋅sin114∘≈53895 m2
437 m270 mBC≈600 m114∘S≈5,39 haABC
21⋅437⋅270=58995 ja sin114∘≈0,91355, seega 58995⋅0,91355≈53894,6.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Teisenda hektariteks
Üks hektar on 10000 ruutmeetrit.
1 ha=10000 m2
Jagame pindala arvuga 10000 ja ümardame sajandikeni.
S≈53895:10000=5,3895≈5,39 ha
Hektar on ruut küljega 100 m, 100⋅100=10000 m².
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia lühima teelõigu pikkus
Teises küsimuses on vaja lühimat teelõiku tipust A küljeni BC. Punktist sirgeni on lühim tee risti, seega on teelõik kolmnurga kõrgus AD, mis on tõmmatud küljele BC. Kõrguse leiame pindala abil.
Kirjutame kolmnurga pindala aluse BC ja kõrguse h kaudu.
S=2BC⋅h
Avaldame kõrguse.
h=BC2S
Asendame S≈53895 m² ja BC≈600 m.
h≈6002⋅53895=600107790≈179,65≈180 m
437 m270 mBC≈600 m114∘S≈5,39 hah≈180 mABCD
Täpsemate vahetulemustega (S≈53894,6 ja BC≈599,88) tuleb h≈179,69 m, samuti ümardatult 180 m. Kuna nurgad B ja C on teravnurgad, jääb kõrguse alguspunkt D küljele BC.
VASTUS
1) Maatüki kolmas külg on BC≈600 m ja maatüki pindala on umbes 5,39 hektarit. 2) Rajada tuleks umbes 180 m pikkune teelõik.