Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Võrrandi lahendid on ühtlasi funktsiooni nullkohad, seega teises osas pole vaja uuesti arvutada. Joonise graafikult loe mõne punkti koordinaadid ja proovi, millise valemiga need sobivad.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Asenda kordajad lahendivalemisse
Esimeses küsimuses tuleb lahendada ruutvõrrand. Kasutame ruutvõrrandi lahendivalemit.
Kirjutame välja ruutvõrrandi kordajad.
a=4,b=8,c=−21
Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi.
x1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame kordajad valemisse. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
x1;2=2⋅4−8±82−4⋅4⋅(−21)=8−8±64+336
Liidame juure all olevad arvud ja võtame ruutjuure.
8−8±64+336=8−8±400=8−8±20
Juure all on −4⋅4⋅(−21)=+336: kahe negatiivse teguri korrutis on positiivne. Et 202=400, siis 400=20. Juure all olev arv (diskriminant) on positiivne, seega on võrrandil kaks lahendit.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia võrrandi lahendid
Esimese lahendi saame miinusmärgiga.
x1=8−8−20=8−28=−3,5
Teise lahendi saame plussmärgiga.
x2=8−8+20=812=1,5
Murrud taandame neljaga: 8−28=2−7=−3,5 ja 812=23=1,5.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2.1Samm 3: Leia nullkohad
Teises küsimuses on antud ruutfunktsioon, mille avaldis on sama mis esimese küsimuse võrrandis. Nullkoht on x väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null ehk y=0.
Võrdsustame funktsiooni avaldise nulliga. Saame sama võrrandi, mille lahendasime esimeses küsimuses.
4x2+8x−21=0
Seega on nullkohad esimeses küsimuses leitud lahendid.
x1=−3,5,x2=1,5
Nullkohad on arvud, mitte punktid. Graafik lõikab x-telge punktides (−3,5;0) ja (1,5;0).
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2.2Samm 4: Leia haripunkti koordinaadid
Parabool on sümmeetriline, seega asub haripunkt nullkohtade keskel.
Haripunkti x-koordinaat on nullkohtade aritmeetiline keskmine.
xh=2x1+x2=2−3,5+1,5=2−2=−1
Haripunkti y-koordinaadi saame, kui asendame funktsiooni avaldisse x=−1. Negatiivse arvu paneme sulgudesse.
yh=4⋅(−1)2+8⋅(−1)−21=4⋅1−8−21=4−8−21=−25
Kirjutame haripunkti koordinaadid.
H(−1;−25)
Sama x-koordinaadi annab valem xh=−2ab=−2⋅48=−1. Haripunkt on punkt, seega tuleb vastuseks anda mõlemad koordinaadid.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2.3Samm 5: Leia lõikepunkt y-teljega
y-teljel on iga punkti x-koordinaat null.
Asendame funktsiooni avaldisse x=0.
y=4⋅02+8⋅0−21=0+0−21=−21
Kirjutame lõikepunkti mõlemad koordinaadid.
(0;−21)
Küsitakse punkti koordinaate, seega tuleb vastuseks anda mõlemad koordinaadid. y-telje lõikepunkti y-koordinaat on alati funktsiooni vabaliige c.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Otsusta graafiku kuju järgi
Kolmandas küsimuses tuleb otsustada, millise funktsiooni graafik on joonisel. Joonisel on kahest harust koosnev kõverjoon, mis ei lõika kumbagi telge. Vaatame, millised on antud funktsioonide graafikud.
Funktsioonid y=4x ja y=4x on lineaarfunktsioonid. Nende graafik on nullpunkti läbiv sirge.
y=4x,y=4x⇒sirge
Funktsiooni y=4x2 graafik on nullpunkti läbiv parabool.
y=4x2⇒parabool
Funktsiooni y=x4 graafik on kahest harust koosnev hüperbool.
y=x4⇒hu¨perbool
Joonise graafik nullpunkti ei läbi: valemis y=x4 ei saa x olla null, sest nulliga jagada ei saa. Seepärast koosneb graafik kahest eraldi harust.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 3Samm 7: Kontrolli graafiku punktidega
Loeme jooniselt mõne graafiku punkti ja kontrollime, kas nende koordinaadid rahuldavad valemit y=x4.
Arvutame valemiga y=x4 väärtused kohtadel x=−2, 1, 2 ja 4.
−24=−2,14=4,24=2,44=1
Kanname tulemused väärtuste tabelisse. Kõik need punktid on joonise graafikul.
xy−2−2142241
Teised valemid ei sobi: näiteks kohal x=2 peaks graafiku y olema 2, aga need valemid annavad muu väärtuse.
Igas punktis on koordinaatide korrutis x⋅y=4, mis ongi pöördvõrdelise seose tunnus. Kohal x=1 annaksid ka y=4x ja y=4x2 väärtuse 4, seega ühest punktist ei piisa.
8Samm 8Peidetud
8
Küsimus 3Samm 8: Kirjuta valem joonisele
Kirjutame joonisele graafiku juurde selle funktsiooni valemi.
Ülesanne nõuab, et valem oleks kirjutatud joonisele graafiku juurde. Punkti saab just selle eest.
VASTUS
1) Võrrandi lahendid on x1=−3,5 ja x2=1,5. 2) Funktsiooni nullkohad on x1=−3,5 ja x2=1,5, graafiku haripunkt on H(−1;−25) ja graafik lõikab y-telge punktis (0;−21). 3) Joonisel on funktsiooni y=x4 graafik.