Põhikooli lõpueksam 2023, ülesanne 5: Kaks sirget ja parabool
1.Joonisel on kujutatud lineaarfunktsioonide y=x+1 ja y=−x+7 graafikud. Kirjuta graafikute juurde vastavad valemid.
2.On antud ruutfunktsioon y=−x2+3x+4.
1)Arvuta selle funktsiooni nullkohad ja graafiku haripunkti koordinaadid.
2)Joonesta antud koordinaatteljestikku selle funktsiooni graafik.
3.Millised nendest kolmest graafikust läbivad punkti A(3;4)?
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2023, ülesanne 5
Ülesande joonis
−4−3−2−1123456789101112−7−6−5−4−3−2−1123456780xy
Valemikaart: lineaarfunktsioon
y=ax+b
a on to˜us,b on algordinaat
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Valemikaart: parabooli haripunkt
y=ax2+bx+c
xh=−2ab=2x1+x2
yh=f(xh)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Sirge valemi tunned ära algordinaadi ja tõusu järgi. Ruutfunktsiooni nullkohtade leidmiseks võrdsusta avaldis nulliga; haripunkt asub nullkohtade keskel.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia, kus sirged lõikavad y-telge
Esimeses küsimuses tuleb kirjutada valemid õigete sirgete juurde. Selleks leiame, kus kumbki sirge lõikab y-telge. Seal on x=0.
Lineaarfunktsiooni y=ax+b graafik tõuseb, kui a>0, ja langeb, kui a<0. Algordinaat ja tõus annavad sama vastuse, seega teisega saab esimest kontrollida.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2.1Samm 3: Koosta võrrand nullkohtade leidmiseks
Teise küsimuse esimeses osas tuleb leida nullkohad ja haripunkt. Nullkoht on x väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null ehk y=0.
Võrdsustame funktsiooni avaldise nulliga. Et ruutliikme kordaja oleks positiivne, korrutame võrrandi mõlemat poolt arvuga −1.
−x2+3x+4=0⋅(−1)
Iga liikme märk muutub vastupidiseks.
x2−3x−4=0
Võrrandi mõlema poole korrutamine sama arvuga ei muuda lahendeid. Positiivse ruutliikme kordajaga on lahendivalemis vähem märgivigu.
Valemis on −b=−(−3)=3. Juure all on −4⋅1⋅(−4)=+16, sest kahe negatiivse teguri korrutis on positiivne. Et 52=25, siis 25=5. Graafik lõikab x-telge punktides (−1;0) ja (4;0).
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2.1Samm 5: Leia haripunkti koordinaadid
Parabool on sümmeetriline, seega asub haripunkt nullkohtade keskel.
Haripunkti x-koordinaat on nullkohtade aritmeetiline keskmine.
xh=2x1+x2=2−1+4=23=1,5
Haripunkti y-koordinaadi saame, kui asendame funktsiooni avaldisse x=1,5. Kõigepealt astendame, siis korrutame ja liidame.
Sama x-koordinaadi annab valem xh=−2ab=−2⋅(−1)3=1,5. Avaldises −x2 võetakse ruutu ainult x, miinus jääb ette: −(1,5)2=−2,25.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2.2Samm 6: Koosta parabooli väärtuste tabel
Teise küsimuse teises osas tuleb joonestada graafik. Ruutliikme kordaja on −1<0, seega avaneb parabool alla. Nullkohad ja haripunkt on juba teada. Täpsemaks joonestamiseks arvutame veel mõned punktid.
Arvutame y väärtuse, kui x=0.
y=−02+3⋅0+4=0+0+4=4
Arvutame y väärtuse, kui x=5.
y=−52+3⋅5+4=−25+15+4=−6
Punktid, mis on sümmeetriateljest x=1,5 sama kaugel, on sama kõrgusel. Seega x=3 korral on y=4 ja x=−2 korral y=−6.
Parabool on sujuv kõverjoon, mitte punkte ühendav murdjoon. Haripunkti juures on see ümar.
8Samm 8Peidetud
8
Küsimus 3Samm 8: Kontrolli punkti A iga graafiku korral
Kolmandas küsimuses tuleb leida, millised graafikud läbivad punkti A(3;4). Graafik läbib punkti A, kui kohal x=3 on funktsiooni väärtus 4. Asendame x=3 iga funktsiooni valemisse.
Sirge y=x+1 korral saame y=4, seega see sirge läbib punkti A.
Sama on näha jooniselt, kus sirged ja parabool lõikuvad punktis A(3;4). Arvutus on aga täpsem kui joonis.
VASTUS
1) Tõusev sirge on y=x+1 ja langev sirge y=−x+7. 2) Funktsiooni y=−x2+3x+4 nullkohad on x1=−1 ja x2=4 ning graafiku haripunkt on H(1,5;6,25); graafik on joonisel. 3) Punkti A(3;4) läbivad kõik kolm graafikut.