Põhikooli lõpueksam 2022, ülesanne 3: Avaldise lihtsustamine ja murru taandamine
1.Lihtsusta avaldis a(a−3)−(a−8)2 ja arvuta selle väärtus, kui a=144+2525.
2.Taanda murd (3a−2)(3+2a)4a3−9a.
Allikas: Põhikooli matemaatika lõpueksam 2022, ülesanne 3
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Esimeses osas ava sulud; vahe ruudu ette jääb miinusmärk, seega pane avatud ruut esialgu sulgudesse. Teises osas too lugejas a sulgude ette ja otsi ruutude vahet.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Ava esimesed sulud
Esimeses küsimuses tuleb avaldis lihtsustada ja arvutada selle väärtus. Avaldises on kaks osa: korrutis a(a−3) ja vahe ruut (a−8)2. Alustame korrutisest.
Korrutame sulgude ees oleva teguri a sulgude mõlema liikmega.
a(a−3)=a⋅a−a⋅3=a2−3a
Üksliikme korrutamisel hulkliikmega korrutatakse üksliige hulkliikme iga liikmega.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Võta vahe ruutu
Kasutame vahe ruudu valemit (a−b)2=a2−2ab+b2, kus esimene liige on a ja teine liige 8.
(a−8)2=a2−2⋅a⋅8+82
Arvutame kahekordse korrutise ja teise liikme ruudu.
a2−2⋅a⋅8+82=a2−16a+64
Vahe ruudu valemis on keskmine liige kahekordne korrutis: 2⋅a⋅8=16a. Viimane liige on 82=64.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Pane osad kokku ja koonda
Asendame avaldise osad leitud tulemustega. Vahe ruudu ees on miinus, seega jääb see sulgudesse.
a2−3a−(a2−16a+64)
Avame sulud. Miinus sulgude ees muudab sulgudes iga liikme märgi vastupidiseks.
a2−3a−a2+16a−64
Koondame sarnased liikmed: a2−a2=0 ja −3a+16a=13a.
13a−64
Miinus käib kogu avatud ruudu kohta, seega muutuvad kõigi kolme liikme märgid: a2 muutub −a2-ks, −16a muutub +16a-ks ja 64 muutub −64-ks.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Arvuta a väärtus
Avaldise väärtuse arvutamiseks leiame kõigepealt arvu a.
Liidame nimetajas olevad arvud ja võtame murrust ruutjuure: eraldi lugejast ja nimetajast.
a=144+2525=16925=16925=135
Kõigepealt liidame nimetajas olevad arvud. Murru ruutjuure leidmiseks võtame eraldi juure lugejast ja nimetajast: 25=5 ja 169=13. Summast ei tohi juurt võtta liikmete kaupa: 144+25 ei ole 12+5.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 1Samm 5: Arvuta avaldise väärtus
Asendame a=135 lihtsustatud avaldisse.
13a−64=13⋅135−64
Arv 13 taandub murru nimetajaga ja alles jääb 5. Seejärel lahutame.
13⋅135−64=5−64=−59
Lihtsustatud avaldisega on arvutus palju lühem kui esialgsega. Esialgsest avaldisest arvutades tuleb sama väärtus −59.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Too lugejas ühine tegur sulgude ette
Teises küsimuses tuleb murd taandada. Taandada saab ainult tegureid, seega tegurdame kõigepealt lugeja.
Mõlemas liikmes on tegur a. Kirjutame selle välja ja toome sulgude ette.
4a3−9a=a⋅4a2−a⋅9=a(4a2−9)
Kui toome teguri a sulgude ette, jääb sulgudesse ruutude vahe 4a2−9.
7Samm 7Peidetud
7
Küsimus 2Samm 7: Tegurda ruutude vahe
Kirjutame liikmed ruutudena: 4a2=(2a)2 ja 9=32. Kasutame ruutude vahe valemit.
4a2−9=(2a)2−32=(2a−3)(2a+3)
Lugeja tegurdatud kuju on seega järgmine.
4a3−9a=a(2a−3)(2a+3)
Ruutude vahe valem: a2−b2=(a−b)(a+b). Siin on valemi a asemel 2a ja b asemel 3.
8Samm 8Peidetud
8
Küsimus 2Samm 8: Taanda ühine tegur
Asendame murru lugeja tegurdatud kujuga.
(3a−2)(3+2a)4a3−9a=(3a−2)(3+2a)a(2a−3)(2a+3)
Nimetajas vahetame teise teguri liidetavate järjekorra: 3+2a=2a+3.
Tegurid 2a+3 ja 3+2a on võrdsed, sest liidetavate järjekord summat ei muuda. See tegur taandub. Tegureid 2a−3 ja 3a−2 taandada ei saa: need on erinevad avaldised. Taandamine on lubatud, kui a=−23; esialgse murru tõttu peab olema ka a=32.
VASTUS
1) Lihtsustatud avaldis on 13a−64 ning selle väärtus, kui a=144+2525=135, on −59. 2) Taandatud murd on 3a−2a(2a−3).