Lai riigieksam 2026, ülesanne 6: Aritmeetiline ja geomeetriline jada
1.Aritmeetilise jada teine liige moodustab 96% esimesest liikmest. Leidke selle jada esimene liige, kui jada 17. liige on 5,4.
2.Kolm positiivset arvu 2x, 5−x ja 7+x on geomeetrilise jada järjestikusteks liikmeteks. Leidke need arvud.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2026, ülesanne 6
Valemikaart: protsent
p% arvust a=100p⋅a
ba⋅100%(mitu protsenti on a arvust b)
Valemikaart: aritmeetiline jada
an=a1+(n−1)d
Sn=2(a1+an)⋅n
Valemikaart: geomeetriline jada
an=a1⋅qn−1
Sn=q−1a1(qn−1),q=1
S=1−qa1,∣q∣<1(ha¨a¨buv jada)
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Esimeses küsimuses avalda jada vahe d esimese liikme kaudu. Teises küsimuses on geomeetrilise jada järjestikuste liikmete jagatis alati sama.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Avalda jada vahe esimese liikme kaudu
Esimeses küsimuses tuleb leida aritmeetilise jada esimene liige. Teine liige moodustab 96% esimesest, seega a2=0,96a1.
Aritmeetilise jada vahe on järgmise ja eelmise liikme vahe.
d=a2−a1
Asendame a2=0,96a1 ja lahutame.
d=0,96a1−a1=−0,04a1
96% arvust a1 on 10096⋅a1=0,96a1. Kuna teine liige on esimesest väiksem, on jada kahanev ja vahe d negatiivne.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Avalda 17. liige esimese liikme kaudu
Kirjutame aritmeetilise jada üldliikme valemi.
an=a1+(n−1)d
Asendame n=17.
a17=a1+16d
Asendame vahe d=−0,04a1 ja korrutame.
a17=a1+16⋅(−0,04a1)=a1−0,64a1=0,36a1
Esimesest liikmest seitsmeteistkümnendani on 16 sammu ja igal sammul lisandub vahe d. Kõik on nüüd väljendatud ühe tundmatu a1 kaudu.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Leia esimene liige
Teame, et a17=5,4.
0,36a1=5,4
Jagame võrrandi mõlemaid pooli arvuga 0,36.
a1=5,4:0,36=15
Kontroll: d=−0,04⋅15=−0,6, a2=14,4 on 96% arvust 15 ja a17=15+16⋅(−0,6)=15−9,6=5,4.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Koosta võrrand
Teises küsimuses on arvud 2x, 5−x ja 7+x geomeetrilise jada järjestikused liikmed. Geomeetrilises jadas on iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis sama (jada tegur q).
Kirjutame, et teise ja esimese liikme jagatis võrdub kolmanda ja teise liikme jagatisega.
2x5−x=5−x7+x
Korrutame ristisuunas (võrde põhiomadus).
(5−x)2=2x(7+x)
Kõik kolm arvu on positiivsed, seega nimetajad 2x ja 5−x ei ole nullid ja võime ristisuunas korrutada. Sama võrrandi annab geomeetrilise jada omadus: keskmise liikme ruut võrdub naaberliikmete korrutisega.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Lahenda ruutvõrrand
Vasakul kasutame vahe ruudu valemit, paremal korrutame sulud lahti.
25−10x+x2=14x+2x2
Viime kõik liikmed paremale poole, kus on suurem ruutliige, ja koondame.
0=x2+24x−25
Kirjutame lahendivalemi. Siin a=1, b=24 ja c=−25.
x1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame kordajad ja arvutame diskriminandi.
x1;2=2−24±576+100=2−24±676=2−24±26
Arvutame mõlemad lahendid.
x1=2−24−26=−25,x2=2−24+26=1
(5−x)2=25−10x+x2 ja 2x(7+x)=14x+2x2. Kui viia liikmed sinna poole, kus ruutliige on suurem, jääb ruutliikme kordaja positiivseks. 676=26.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Vali sobiv lahend ja leia arvud
Ülesande järgi peavad kõik kolm arvu olema positiivsed. Kontrollime mõlemat lahendit.
Kui x=−25, on esimene arv negatiivne, seega see lahend ei sobi.
2x=2⋅(−25)=−50<0
Kui x=1, arvutame kõik kolm arvu.
2x=2,5−x=4,7+x=8
Kontrollime, et järjestikuste arvude jagatis on sama.
q=24=48=2
Kui x=−25, oleksid arvud −50, 30 ja −18. Need moodustavad küll geomeetrilise jada teguriga −53, kuid ei ole positiivsed. Seega jääb alles ainult x=1.
VASTUS
1) Aritmeetilise jada esimene liige on 15. 2) Otsitavad arvud on 2, 4 ja 8.