Karbis on 5 musta ja 7 sinist nööpi.Karbist võetakse juhuslikult 6 nööpi. Arvutage tõenäosus, et
1)kõik võetud nööbid on sinised;
2)üle poole võetud nööpidest on mustad.
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2026, ülesanne 1
Valemikaart: kombinatoorika
Pn=n!
Ank=(n−k)!n!
Cnk=k!(n−k)!n!
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Nööpide järjekord ei ole oluline, seega loe võimalusi kombinatsioonide arvuga. Teises küsimuses mõtle, mitu musta nööpi saab kuue hulgas olla, et neid oleks üle poole.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia kõigi võimaluste arv
Esimeses küsimuses tuleb leida tõenäosus, et kõik kuus võetud nööpi on sinised. Kõigepealt loeme kokku, mitmel erineval viisil saab karbist kuus nööpi võtta.
Karbis on kokku 5+7=12 nööpi, millest võetakse 6. Järjekord pole oluline, seega kasutame kombinatsioonide arvu valemit.
Cnk=k!(n−k)!n!
Asendame n=12 ja k=6. Taandades 12! ja ühe 6! jääb lugejasse korrutis 12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7.
C126=6!⋅6!12!=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅612⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7
Arvutame lugeja ja nimetaja ning jagame.
1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅612⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7=720665280=924
Iga võimalik kuuest nööbist koosnev valik on üks võimalus. Kuna nööpe võetakse korraga ja nende järjekord ei loe, on see 12 elemendi kombinatsioon 6 kaupa. Kõik valikud on ühesuguse tõenäosusega, seega saame kasutada klassikalist tõenäosust.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia soodsate võimaluste arv ja tõenäosus
Soodne on valik, kus kõik kuus nööpi on seitsme sinise nööbi hulgast ja musti ei ole ühtegi.
Valime seitsmest sinisest nööbist kuus ja viiest mustast null.
C76⋅C50=6!⋅1!7!⋅1=7
Tõenäosus on soodsate võimaluste arv jagatud kõigi võimaluste arvuga. Taandame murdu arvuga 7.
P(A)=9247=1321≈0,008
Seitsmest sinisest kuue valimiseks on 7 võimalust: see on sama, mis valida üks nööp, mis jääb karpi. Sama tulemuse annab järjestikuste tõenäosuste korrutis 127⋅116⋅105⋅94⋅83⋅72=1321.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Selgita, millised valikud sobivad
Teises küsimuses peab üle poole võetud nööpidest olema mustad. Pool kuuest on 3, seega peab musti olema vähemalt 4. Musti nööpe on karbis ainult 5, seega on kaks võimalust: 4 musta ja 2 sinist või 5 musta ja 1 sinine.
Esimene võimalus on valida viiest mustast neli ja seitsmest sinisest kaks.
C54⋅C72=5⋅1⋅27⋅6=5⋅21=105
Teine võimalus on võtta kõik viis musta ja seitsmest sinisest üks.
C55⋅C71=1⋅7=7
Mõlemat värvi nööpide valikud on teineteisest sõltumatud, seega korrutame need arvud (korrutamislause). Kaks juhtu välistavad teineteist, seega liidame nende arvud järgmises sammus. Kuut musta nööpi võtta ei saa, sest neid on karbis ainult viis.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Arvuta tõenäosus
Liidame mõlema juhu soodsad võimalused ja jagame kõigi võimaluste arvuga.
P(B)=924105+7=924112
Taandame murdu arvuga 28, sest 112=4⋅28 ja 924=33⋅28.
924112=334≈0,121
Sündmus „üle poole on mustad“ toimub, kui toimub üks kahest teineteist välistavast juhust. Siis liituvad soodsate võimaluste arvud (või ka tõenäosused).
VASTUS
1) Tõenäosus, et kõik võetud nööbid on sinised, on 1321≈0,008. 2) Tõenäosus, et üle poole võetud nööpidest on mustad, on 334≈0,121.