Lai riigieksam 2018, ülesanne 12: Lõigatud kolmnurkse prisma külgpindala

Tähistame alumise põhja tipud $A$, $B$, $C$ ja ülemise põhja tipud $D$, $E$, $F$. Prisma on korrapärane, seega on põhi võrdkülgne kolmnurk küljega $12$ cm ja kõik nurgad on $60^\circ$.

Kirjutame kolmnurga pindala valemi kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu.

Asendame $a = b = 12$ cm ja $\gamma = 60^\circ$, kus $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Prisma ruumala on põhja pindala korda kõrgus. Ruumala on antud, seega saame avaldada kõrguse.

Kirjutame püstprisma ruumala valemi.

Asendame $V = 540\sqrt{3}$ cm³ ja $S_p = 36\sqrt{3}$ cm².

Jagame mõlemaid pooli arvuga $36\sqrt{3}$.

Lõiketasand läbib külgserva $AD$ ja lõikab põhiserva $BC$ punktis $K$. Suhe $3 : 5$ tähendab, et serv $BC$ on jagatud $3 + 5 = 8$ võrdseks osaks.

Ühe osa pikkus.

Lühem lõik on kolm osa ja pikem viis osa.

Mõlema prisma kõrgus on sama, seega on suurem see, mille põhi on suurem. Kolmnurkadel $ABK$ ja $AKC$ on tipust $A$ tõmmatud ühine kõrgus, seega on nende pindalade suhe sama mis aluste suhe.

Põhjade pindalade suhe on aluste $KB$ ja $CK$ suhe.

Suurema ruumalaga prisma põhi on kolmnurk $ABK$.

Suurema prisma külgpindala jaoks on vaja põhja $ABK$ kõiki külgi. Teada on $AB = 12$ cm, $KB = 7{,}5$ cm ja nende vaheline nurk $B = 60^\circ$.

Kirjutame koosinusteoreemi külje $AK$ jaoks.

Asendame väärtused, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Võtame ruutjuure.

Suurema prisma külgtahud on ristkülikud $ABED$, $BKLE$ ja lõiketahk $AKLD$. Kõigi kõrgus on prisma kõrgus $15$ cm.

Arvutame põhja $ABK$ ümbermõõdu.

Kirjutame püstprisma külgpindala valemi.

Asendame $P = 30$ cm ja $h = 15$ cm.