Perekond Mänd jälgis 2013. aasta 1. jaanuarist 2014. aasta 31. detsembrini, kui palju kulus neil raha toidukaupade ostmiseks. Selgus, et vaadeldud perioodil kulus perel igas kuus ühe ja sama summa võrra rohkem raha kui eelmises kuus.
1.2013. aasta esimese kolme kuu jooksul kulus perel toidukaupade ostmiseks kokku 796,5 eurot ja 2014. aasta märtsis 285 eurot.Kui palju raha kulus perel toidukaupade ostmiseks 2014. aasta detsembris?
2.Mitu eurot kulus perel vaadeldud perioodil toidukaupade ostmiseks keskmiselt ühes kuus?
3.Mitme protsendi võrra oli 2014. aasta detsembrikuu kulu suurem 2013. aasta jaanuarikuu kulust?
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2015, ülesanne 10
Valemikaart: aritmeetiline jada
an=a1+(n−1)d
Sn=2(a1+an)⋅n
Valemikaart: protsent
p% arvust a=100p⋅a
ba⋅100%(mitu protsenti on a arvust b)
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kuude kulud moodustavad aritmeetilise jada. Nummerda kuud alates 2013. aasta jaanuarist; siis on 2014. aasta märts 15. ja detsember 24. liige.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Seo kuud jada liikmetega
Kuna kulu kasvas igas kuus sama summa võrra, moodustavad kuude kulud aritmeetilise jada. Tähistame 2013. aasta jaanuari kulu a1 ja kuise kasvu d.
Periood kestab kaks aastat, seega jadas on 24 liiget.
n=2⋅12=24
2014. aasta märts on 12+3=15. kuu ja 2014. aasta detsember 24. kuu.
ma¨rts 2014=a15,detsember 2014=a24
Aritmeetilises jadas saadakse iga järgmine liige eelmisest, kui liita sama arv d (jada vahe).
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Kirjuta võrrandid
Esimeses küsimuses on vaja leida a24. Selleks leiame enne a1 ja d.
Kirjutame üldliikme valemi.
an=a1+(n−1)d
Esimese kolme kuu kulu on a1+a2+a3, kus a2=a1+d ja a3=a1+2d.
a1+(a1+d)+(a1+2d)=796,5⇒3a1+3d=796,5
Märtsi 2014 kulu on viieteistkümnes liige.
a15=a1+14d=285
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Lahenda võrrandisüsteem
Jagame esimese võrrandi mõlemaid pooli arvuga 3.
a1+d=265,5
Lahutame teisest võrrandist esimese, siis a1 kaob.
(a1+14d)−(a1+d)=285−265,5⇒13d=19,5
Jagame mõlemaid pooli arvuga 13.
d=1,5
Asendame d=1,5 võrrandisse a1+d=265,5.
a1=265,5−1,5=264
Jaanuaris 2013 kulus 264 eurot ja igas järgmises kuus 1,5 eurot rohkem.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Arvuta detsembri 2014 kulu
Asendame üldliikme valemisse n=24, a1=264 ja d=1,5.
a24=264+23⋅1,5=264+34,5=298,5 €
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Leia keskmine kuukulu
Teises küsimuses on vaja keskmist kuukulu. Selleks leiame kogu perioodi kulu ehk jada 24 liikme summa ja jagame kuude arvuga.
Kirjutame aritmeetilise jada summa valemi.
Sn=2(a1+an)⋅n
Asendame a1=264, a24=298,5 ja n=24.
S24=2(264+298,5)⋅24=562,5⋅12=6750 €
Jagame kogukulu kuude arvuga 24.
246750=281,25 €
Aritmeetilise jada liikmete keskmine on esimese ja viimase liikme keskmine: 2264+298,5=281,25.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Leia muutus protsentides
Kolmandas küsimuses võrdleme detsembri 2014 kulu jaanuari 2013 kuluga. Võrdluse alus on jaanuari kulu.
Leiame, mitme euro võrra oli detsembri kulu suurem.
298,5−264=34,5 €
Leiame, mitu protsenti on see jaanuari kulust.
26434,5⋅100%≈13,07%≈13,1%
Protsentides muutus arvutatakse alati esialgse väärtuse suhtes. Siin on esialgne väärtus jaanuari 2013 kulu 264 eurot.
VASTUS
1) 2014. aasta detsembris kulus toidukaupadele 298,50 eurot. 2) Keskmiselt kulus ühes kuus 281,25 eurot. 3) Detsembri 2014 kulu oli jaanuari 2013 kulust ligikaudu 13,1% suurem.