Kitsas riigieksam 2025, ülesanne 4: Lineaarvõrratus ja täisarvulised lahendid
1.Lahendage võrratus 72(x−2)−21x<2.
2.Leidke selle võrratuse kõik täisarvulised lahendid, mis kuuluvad lõiku [−18;−8].
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2025, ülesanne 4
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 31,49% punktidest (Harno aruanne).
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Korruta võrratus läbi nimetajate vähima ühiskordsega. Kui jagad negatiivse arvuga, pöördub võrratuse märk.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Vabane murdudest
Esimeses küsimuses tuleb lahendada võrratus. Nimetajad on 7 ja 2, nende vähim ühiskordne on 14. Korrutame võrratuse mõlemaid pooli arvuga 14.
Korrutame iga liiget arvuga 14. Positiivse arvuga korrutades võrratuse märk ei muutu.
14⋅72(x−2)−14⋅21x<14⋅2
Taandame: 14:7=2 ja 14:2=7.
2⋅2(x−2)−7x<28
Arvutame esimese liikme kordaja.
4(x−2)−7x<28
Murdudega on ebamugav arvutada. Kui korrutame kogu võrratuse nimetajate ühiskordsega, kaovad murrud ära. Korrutada tuleb kõiki liikmeid, ka paremat poolt 2.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Ava sulud ja koonda
Avame sulud.
4x−8−7x<28
Koondame x-iga liikmed: 4x−7x=−3x.
−3x−8<28
Viime arvu −8 paremale poole, kus see muutub +8-ks.
−3x<28+8⇒−3x<36
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Jaga x-i kordajaga
Jagame mõlemaid pooli arvuga −3. Negatiivse arvuga jagades pöördub võrratuse märk.
x>−336⇒x>−12
Kirjutame lahendihulga vahemikuna.
x∈(−12;∞)
L−120
Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada negatiivse arvuga, muutub märk vastupidiseks: < muutub >-ks. Näiteks −3⋅(−13)=39>36, seega x=−13 ei ole lahend, aga −3⋅(−11)=33<36, seega x=−11 on lahend. Arv −12 ise lahend ei ole, sest võrratus on range.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia täisarvulised lahendid lõigul
Teises küsimuses otsime täisarve, mis on ühtaegu võrratuse lahendid (x>−12) ja lõigu [−18;−8] arvud (−18≤x≤−8).
Kirjutame mõlemad tingimused koos.
−12<x≤−8
Loetleme kõik täisarvud selles vahemikus.
x∈{−11;−10;−9;−8}
L−120[−18;−8]−18−80x∈Z−11−10−9−8−12−180
Arv −12 ei sobi, sest võrratus on range (x>−12). Arv −8 sobib, sest lõigu otspunkt kuulub lõiku. Lõigu arvud −18,−17,…,−12 ei ole võrratuse lahendid.
VASTUS
1) Võrratuse lahendihulk on (−12;∞) ehk x>−12. 2) Lõiku [−18;−8] kuuluvad täisarvulised lahendid on −11, −10, −9 ja −8.