Kitsas riigieksam 2024, ülesanne 9: Ehete näitusmüük
Noor ehtekunstnik Piret korraldas omavalmistatud ehete näitusmüügi. Esimesed kaks ehet müüs ta hinnaga 40 eurot tükk.Kolmanda ehte müüs Piret 50 euroga ja iga järgneva ehte müüs ta eelmisest 15 euro võrra kallimalt.Piret müüs ära kõik näitusel olnud ehted ja teenis kokku 2145 eurot.
1.Mitu ehet oli näitusmüügil?
2.Kui palju maksis kõige kallimalt müüdud ehe?
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2024, ülesanne 9
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 51,8% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: aritmeetiline jada
an=a1+(n−1)d
Sn=2(a1+an)⋅n
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Esimesed kaks ehet ei kuulu jadasse. Alates kolmandast ehtest moodustavad hinnad aritmeetilise jada, mille esimene liige on 50 ja vahe 15.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Koosta jada
Esimeses küsimuses tuleb leida ehete arv. Esimesed kaks ehet maksid sama palju, alates kolmandast ehtest kasvab hind iga kord 15 euro võrra. Seega moodustavad alates kolmandast ehtest hinnad aritmeetilise jada.
Arvutame, kui palju sai Piret kahe esimese ehte eest.
2⋅40=80 €
Jada esimene liige on kolmanda ehte hind ja vahe on hinna kasv.
a1=50,d=15
Jada liikmete summa on see, mis jääb kogutulust pärast kahe esimese ehte hinda.
Sn=2145−80=2065
Tähistame n-ga nende ehete arvu, mis müüdi alates kolmandast ehtest. Jada liikmed on 50, 65, 80, … eurot. Kogu ehete arv on siis n+2.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Kirjuta summa valem
Kirjutame aritmeetilise jada summa valemi.
Sn=2(a1+an)⋅n
Asendame üldliikme an=a1+(n−1)d.
Sn=2(2a1+(n−1)d)⋅n
Asendame a1=50, d=15 ja Sn=2065.
2(2⋅50+(n−1)⋅15)⋅n=2065
Viimane liige an on tundmatu, seepärast asendame selle üldliikme valemiga. Siis on võrrandis ainult üks tundmatu n. a1+an=a1+a1+(n−1)d=2a1+(n−1)d.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Teisenda ruutvõrrandiks
Korrutame mõlemaid pooli arvuga 2 ja avame sisemised sulud.
(100+15n−15)⋅n=4130
Koondame sulgudes.
(85+15n)⋅n=4130
Avame sulud ja viime kõik liikmed vasakule poole.
15n2+85n−4130=0
Jagame mõlemaid pooli arvuga 5.
3n2+17n−826=0
Kõik kordajad 15, 85 ja 4130 jaguvad arvuga 5; jagamine teeb järgmise sammu arvutused lihtsamaks. 4130:5=826.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 1Samm 4: Lahenda ruutvõrrand
Kirjutame ruutvõrrandi lahendivalemi. Siin a=3, b=17 ja c=−826.
n1;2=2a−b±b2−4ac
Asendame kordajad ja arvutame diskriminandi.
n1;2=6−17±289+9912=6−17±10201=6−17±101
Arvutame mõlemad lahendid.
n1=6−17+101=14,n2=6−17−101=−359
Ehete arv ei saa olla negatiivne ega murdarv, seega sobib ainult n=14.
n2=−359 ei sobi
172=289 ja 4⋅3⋅826=9912. 10201=101, sest 1012=10201.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 1Samm 5: Leia ehete arv
Jadas on 14 ehet. Neile lisanduvad kaks esimest ehet, mis ei kuulu jadasse.
Liidame jadasse kuuluvad ja kaks esimest ehet.
14+2=16
Kontroll: jada summa on 2(50+245)⋅14=295⋅7=2065 eurot ja koos kahe esimese ehtega 2065+80=2145 eurot.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Leia kõige kallima ehte hind
Teises küsimuses on vaja kõige kallimat ehet. Hind kasvas iga ehtega, seega oli kõige kallim viimane ehe ehk jada 14. liige.
Kirjutame aritmeetilise jada üldliikme valemi.
an=a1+(n−1)d
Asendame a1=50, n=14 ja d=15.
a14=50+(14−1)⋅15=50+195=245 €
Jada 14. liige on tegelikult 16. müüdud ehe, sest kaks esimest ehet ei kuulu jadasse.
VASTUS
1) Näitusmüügil oli 16 ehet. 2) Kõige kallimalt müüdud ehe maksis 245 eurot.