Kitsas riigieksam 2022, ülesanne 12: Klaaspakendite konteineri ruumala
Klaaspakendite konteiner (vt joonist) koosneb silindri- ja selle peal asetsevast koonusekujulisest osast. Silindrikujulise osa kõrgus on 1,6 meetrit ja põhja ümbermõõt 4,7 meetrit.Koonusekujulise osa moodustaja ja põhja vaheline nurk on 21∘.
2.Olmeprügi konteineri ruumala on 770 liitrit. Kumma konteineri ruumala on suurem? Põhjendage oma vastust.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2022, ülesanne 12
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 32,5% punktidest (Harno aruanne).
Ülesande joonis
1,6 m21∘C=4,7 m
Lohista, et pöörata
Valemikaart: ringjoon ja ring
C=2πr
S=πr2
Valemikaart: silinder
V=πr2h
Sk=2πrh,St=2πr(r+h)
Valemikaart: täisnurkse kolmnurga seosed
sinα=ca,cosα=cb,tanα=ba
a on vastaskaatet,b la¨hiskaatet,c hu¨potenuus
Valemikaart: koonus
V=31πr2h
Sk=πrm,St=πr(r+m)
m on moodustaja,m2=r2+h2
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Põhja raadiuse saad ümbermõõdust. Koonuse kõrgus, põhja raadius ja moodustaja moodustavad täisnurkse kolmnurga, milles nurk 21∘ on raadiuse ja moodustaja vahel.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia põhja raadius
Esimeses küsimuses tuleb leida konteineri ruumala. See on silindri ja koonuse ruumalade summa. Mõlemal on sama põhi, seega leiame kõigepealt põhja raadiuse ümbermõõdust.
Kirjutame ringjoone pikkuse valemi.
C=2πr
Avaldame raadiuse ja asendame C=4,7 m.
r=2πC=2π4,7≈0,748 m
1,6 m21∘C=4,7 mr≈0,748 m
Lohista, et pöörata
Valemist C=2πr saame raadiuse, kui jagame mõlemaid pooli 2π-ga. 2π≈6,283 ja 4,7:6,283≈0,748.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Arvuta silindri ruumala
Kirjutame silindri ruumala valemi.
V1=πr2h
Asendame r≈0,748 m ja h=1,6 m.
V1≈π⋅0,7482⋅1,6≈2,81 m3
1,6 m21∘C=4,7 mr≈0,748 mV1≈2,81 m3
Lohista, et pöörata
0,7482≈0,5595 ja π⋅0,5595⋅1,6≈2,812.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Leia koonuse kõrgus
Koonuse kõrgus h1, põhja raadius r ja moodustaja moodustavad täisnurkse kolmnurga. Nurk 21∘ on raadiuse ja moodustaja vahel. Kõrgus on selle nurga vastaskaatet ja raadius lähiskaatet.
Tangens on vastaskaateti ja lähiskaateti suhe.
tan21∘=rh1
Avaldame kõrguse ja asendame r≈0,748 m.
h1=r⋅tan21∘≈0,748⋅0,3839≈0,287 m
1,6 m21∘C=4,7 mr≈0,748 mV1≈2,81 m3h1≈0,287 m
Lohista, et pöörata
Moodustaja ja põhja vaheline nurk on nurk moodustaja ja põhja raadiuse vahel, sest raadius on moodustaja projektsioon põhjale. Koonuse kõrgus on põhjaga risti, seega on kolmnurk täisnurkne.
1 m3=1000 dm3=1000 l. Klaaspakendite konteineri ruumala on ligikaudu neli korda suurem kui olmeprügi konteineri ruumala.
VASTUS
1) Klaaspakendite konteineri ruumala on umbes 3 m³ (täpsemalt ≈2,98 m³). 2) Klaaspakendite konteineri ruumala on suurem, sest olmeprügi konteineri ruumala on ainult 770 l=0,77 m3<2,98 m3.