Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2021, ülesanne 6
Valemikaart: abivalemid
a2−b2=(a−b)(a+b)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Valemikaart: ruutvõrrandi lahendivalem
ax2+bx+c=0
x1;2=2a−b±b2−4ac
Märgiskeem
Täitub sammus 2.
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Esimeses võrratuses ära jaga avaldisega x+1, sest selle märk pole teada. Vii kõik liikmed vasakule ja lahenda ruutvõrratus. Süsteemis lahenda kumbki võrratus eraldi ja leia lahendite ühisosa.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Ava sulud ja vii kõik liikmed vasakule
Esimeses küsimuses tuleb lahendada võrratus. Avame mõlemal pool sulud ja viime kõik liikmed vasakule poole, et paremale jääks null.
Korrutame vasakul sulud omavahel ja paremal arvu 4 sulgudega.
x2+2x+x+2≥4x+4
Viime paremal pool olevad liikmed vasakule, muutes nende märgi.
x2+3x+2−4x−4≥0
Koondame sarnased liikmed.
x2−x−2≥0
Võrratust ei tohi jagada avaldisega x+1, sest me ei tea, kas see on positiivne või negatiivne. Negatiivsega jagades peaks märk pöörduma. Sellepärast viime kõik liikmed ühele poole.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia nullkohad
Ruutvõrratuse lahendamiseks leiame kõigepealt ruutfunktsiooni y=x2−x−2 nullkohad.
Võrdsustame vasaku poole nulliga.
x2−x−2=0
Kasutame lahendivalemit, kus a=1, b=−1 ja c=−2.
x1;2=2⋅11±(−1)2−4⋅1⋅(−2)=21±9=21±3
Arvutame mõlemad nullkohad.
x1=21−3=−1,x2=21+3=2
Nullkohad saab leida ka tegurdades: (x+1)(x+2)−4(x+1)=(x+1)(x+2−4)=(x+1)(x−2), mille nullkohad on −1 ja 2.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Kirjuta võrratuse lahend
Parabool y=x2−x−2 avaneb üles, sest x2 kordaja on positiivne. Seega on funktsiooni väärtused positiivsed väljaspool nullkohti ja negatiivsed nende vahel.
Otsime kohti, kus avaldis on positiivne või null. Nullkohad kuuluvad lahendisse, sest märk on ≥.
x∈(−∞;−1]∪[2;∞)
Märgiskeemil on avaldis positiivne vahemikes (−∞;−1) ja (2;∞) ning võrdub nulliga punktides −1 ja 2. Kontroll: kui x=0, siis 1⋅2=2≥4 ei kehti, ja 0 ei ole lahend.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Lahenda süsteemi esimene võrratus
Teises küsimuses on kahest võrratusest koosnev süsteem. Lahendame kumbki võrratuse eraldi. Esimeses võrratuses avame vahe ruudu.
Kasutame vahe ruudu valemit.
x2−6x+9+8x≤x2+17
Koondame vasakul ja lahutame mõlemast poolest x2.
2x+9≤17
Viime arvu 9 paremale poole.
2x≤8
Jagame mõlemaid pooli arvuga 2.
x≤4
L140
(x−3)2=x2−2⋅x⋅3+32=x2−6x+9. Ruutliikmed x2 on mõlemal pool ja kaovad ära, seega jääb lineaarvõrratus.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Lahenda süsteemi teine võrratus
Teises võrratuses on nimetajad 5 ja 3. Nende vähim ühiskordne on 15, seega korrutame võrratuse mõlemaid pooli arvuga 15.
Korrutame iga liikme arvuga 15. Murru lugeja x+2 jääb sulgudesse.
30−3(x+2)<5x
Avame sulud. Miinus sulgude ees muudab mõlema liikme märgi.
30−3x−6<5x
x-iga liikmed viime paremale ja arvud jäävad vasakule.
24<8x
Jagame mõlemaid pooli arvuga 8.
3<x
Kirjutame tulemuse nii, et x on vasakul.
x>3
L140L230
15⋅2=30, 15⋅5x+2=3(x+2) ja 15⋅3x=5x. Positiivse arvuga korrutades ja jagades võrratuse märk ei muutu.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 2Samm 6: Leia lahendite ühisosa
Süsteemi lahend on arvud, mis rahuldavad mõlemat võrratust korraga.
Kirjutame mõlema võrratuse lahendid süsteemina.
{x≤4x>3
Ühisosa on arvude 3 ja 4 vahel. Arv 3 ei kuulu lahendisse, arv 4 kuulub.
x∈(3;4]
L140L230L340
Arvteljel kattuvad lahendid lõigul 3 ja 4 vahel. Võrratus x>3 on range, seega 3 ei kuulu lahendisse (tühi täpp, ümarsulg). Võrratus x≤4 sisaldab arvu 4 (täidetud täpp, nurksulg).
VASTUS
1) Võrratuse lahend on x∈(−∞;−1]∪[2;∞). 2) Võrratussüsteemi lahend on x∈(3;4] ehk 3<x≤4.