Kitsas riigieksam 2020, ülesanne 2: Pärlid kahes karbis
Laual on 2 karpi pärlitega. Kõik pärlid on ühesuurused ja erinevad üksteisest vaid värvi poolest. Ühes karbis on 5 musta ja 6 valget pärlit ning teises karbis 4 musta ja 5 valget pärlit.
1.Kummast karbist ühte pärlit võttes on valge pärli saamise tõenäosus suurem?
2.Mõlemast karbist võeti üks pärl. Kui suur on tõenäosus, et võetud pärlid on mõlemad valged?
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2020, ülesanne 2
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Arvuta kummagi karbi jaoks valge pärli tõenäosus soodsate ja kõigi võimaluste suhtena. Kaks karpi ei mõjuta teineteist, seega teises küsimuses tuleb tõenäosused korrutada.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia valge pärli tõenäosus esimesest karbist
Esimeses küsimuses tuleb võrrelda, kummast karbist on valget pärlit tõenäolisem saada. Pärlid on ühesuurused, seega on iga pärli võtmine võrdvõimalik.
Kirjutame klassikalise tõenäosuse valemi.
P=nk
Esimeses karbis on kokku 5+6=11 pärlit, neist valgeid 6.
P1=116≈0,545
Soodsaid võimalusi (k) on nii palju, kui on valgeid pärleid, ja kõiki võimalusi (n) nii palju, kui on karbis pärleid kokku.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1Samm 2: Leia valge pärli tõenäosus teisest karbist
Teises karbis on kokku 4+5=9 pärlit, neist valgeid 5.
P2=95≈0,556
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 1Samm 3: Võrdle tõenäosusi
Võrdleme murde täpselt, viies need ühisele nimetajale 99.
Laiendame esimest murdu arvuga 9 ja teist arvuga 11.
P1=116=9954,P2=95=9955
Teise karbi tõenäosus on suurem.
9954<9955⇒P2>P1
Tõenäosused on väga lähedased (0,545 ja 0,556), seega on hea võrrelda täpseid murde. Teises karbis on valgeid pärleid küll vähem, aga ka pärleid kokku on vähem, ja valgete osakaal on suurem.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Leia tõenäosus, et mõlemad pärlid on valged
Teises küsimuses võetakse pärl mõlemast karbist. Ühest karbist võtmine ei mõjuta teist karpi, seega on sündmused „esimesest karbist tuleb valge“ ja „teisest karbist tuleb valge“ sõltumatud. Sõltumatute sündmuste koos toimumise tõenäosus on nende tõenäosuste korrutis.
Korrutame kahe karbi tõenäosused.
P=P1⋅P2=116⋅95=9930
Taandame murdu arvuga 3.
9930=3310≈0,303
Sama tulemuse saab ka paaride loendamisega: kõiki võimalikke paare (pärl esimesest ja pärl teisest karbist) on 11⋅9=99 ja paare, kus mõlemad on valged, on 6⋅5=30. Tõenäosus on 9930=3310.
VASTUS
1) Valge pärli saamise tõenäosus on suurem teisest karbist (4 musta ja 5 valget pärlit), sest 95>116. 2) Tõenäosus, et mõlemast karbist võetud pärlid on valged, on 3310≈0,303.