Kitsas riigieksam 2019, ülesanne 7: Pähkli- ja marjatäidisega kommid
Karbis on 32 väliselt ühesugust kommi. Osa neist on pähklitäidisega, ülejäänud marjatäidisega. Tõenäosus sellest karbist saada pähklitäidisega komm on 0,25.
1.Mitu pähklitäidisega ja mitu marjatäidisega kommi on karbis?
2.Kui sellest karbist võtta korraga kaks juhuslikku kommi, siis kui suur on tõenäosus, et
1)mõlemad kommid on marjatäidisega;
2)mõlemad kommid on erineva täidisega;
3)vähemalt üks komm on pähklitäidisega?
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2019, ülesanne 7
Valemikaart: tõenäosus
P=nk
k on soodsate,n ko˜igi vo˜imaluste arv
Valemikaart: kombinatoorika
Pn=n!
Ank=(n−k)!n!
Cnk=k!(n−k)!n!
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Tõenäosus 0,25 näitab, kui suur osa kommidest on pähklitäidisega. Kaks kommi võetakse korraga, seega valiku järjekord pole oluline.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Leia kommide arvud
Esimeses küsimuses tuleb leida mõlemat liiki kommide arv. Klassikaline tõenäosus on soodsate võimaluste arv jagatud kõigi võimaluste arvuga. Kõiki komme on 32.
Tähistame pähklitäidisega kommide arvu tähega k ja kirjutame tõenäosuse valemi.
P=32k=0,25
Korrutame mõlemaid pooli arvuga 32.
k=0,25⋅32=8
Marjatäidisega on ülejäänud kommid.
32−8=24
0,25=41, seega on pähklitäidisega neljandik kõigist kommidest.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Leia kõigi võimaluste arv
Teises küsimuses võetakse korraga kaks kommi. Järjekord pole oluline, seega loendame võimalusi kombinatsioonidega. Kõik võimalused on kõik viisid valida 2 kommi 32 kommi hulgast.
Kirjutame kombinatsioonide arvu valemi.
Cnk=k!(n−k)!n!
Asendame n=32 ja k=2. Taandame 30!-ga.
C322=2!⋅30!32!=232⋅31=496
32!=32⋅31⋅30!, seega jääb pärast taandamist lugejasse 32⋅31=992 ja nimetajasse 2!=2.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2.1Samm 3: Mõlemad marjatäidisega
Soodne on valik, kus mõlemad kommid on võetud 24 marjatäidisega kommi hulgast.
Valime 2 kommi 24 marjatäidisega kommi hulgast.
C242=224⋅23=276
Jagame soodsate võimaluste arvu kõigi võimaluste arvuga ja taandame murru arvuga 4.
P1=496276=12469≈0,556
Korrutamislausega: esimene komm on marjatäidisega tõenäosusega 3224, siis on karbis 31 kommi, neist 23 marjatäidisega, seega P1=3224⋅3123=992552=12469.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2.2Samm 4: Erineva täidisega kommid
Soodne on valik, kus üks komm on pähklitäidisega ja teine marjatäidisega.
Pähklitäidisega kommi saab valida 8 viisil ja iga sellise juurde marjatäidisega kommi 24 viisil.
8⋅24=192
Jagame kõigi võimaluste arvuga ja taandame murru arvuga 16.
P2=496192=3112≈0,387
Korrutamislausega tuleb arvestada mõlemat järjekorda (pähkel ja mari või mari ja pähkel): P2=328⋅3124+3224⋅318=992384=3112.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2.3Samm 5: Vähemalt üks pähklitäidisega
„Vähemalt üks komm on pähklitäidisega“ on vastandsündmus sündmusele „mõlemad kommid on marjatäidisega“. Vastandsündmuste tõenäosuste summa on 1.
Lahutame arvust 1 esimese alaküsimuse tõenäosuse.
P3=1−12469=12455≈0,444
Teine võimalus: soodsad on valikud, kus üks komm on pähklitäidisega (192 võimalust) või mõlemad on pähklitäidisega (C82=28 võimalust). Siis P3=496192+28=496220=12455.
VASTUS
1) Karbis on 8 pähklitäidisega ja 24 marjatäidisega kommi. 2) Kui võtta korraga kaks kommi, siis tõenäosus, et mõlemad on marjatäidisega, on 12469≈0,556; et kommid on erineva täidisega, on 3112≈0,387; ja et vähemalt üks komm on pähklitäidisega, on 12455≈0,444.