Lai riigieksam 2024, ülesanne 5: Kolmnurga lõigud ja punkti kaugus sirgest

Esimeses küsimuses tuleb leida lõigud $AD$ ja $BD$. Tähistame nurga $BAC$ tähega $\alpha$. See nurk on nii kolmnurgas $ABC$ kui ka kolmnurgas $ADC$. Kolmnurgas $ABC$ on teada kõik küljed, seega saame nurga leida.

Kirjutame koosinusteoreemi külje $BC$ jaoks. Selle vastas on nurk $\alpha$.

Asendame külgede pikkused.

Arvutame ruudud ja korrutise.

Avaldame $\cos\alpha$ ja taandame murdu arvuga $12$.

Kolmnurgas $ADC$ on teada $AC = 6$, $CD = 5$ ja nurga $\alpha$ koosinus. Tähistame $AD = x$.

Kirjutame koosinusteoreemi külje $CD$ jaoks. Selle vastas on samuti nurk $\alpha$.

Asendame $CD = 5$, $AD = x$, $AC = 6$ ja $\cos\alpha = \frac{7}{8}$.

Arvutame ruudud ja korrutise.

Viime kõik liikmed paremale poole ja korrutame võrrandit arvuga $2$, et kaoks kümnendmurd.

Kasutame lahendivalemit, kus $a = 2$, $b = -21$ ja $c = 22$.

Arvutame mõlemad lahendid ligikaudselt.

Punkt $D$ on küljel $AB$, seega $AD < 8$. Sobib ainult esimene lahend.

Lõigud $AD$ ja $BD$ moodustavad kokku külje $AB$.

Teises küsimuses tuleb leida punkti $B$ kaugus sirgest $AC$. See on punktist $B$ sirgele $AC$ tõmmatud ristlõigu $BE$ pikkus. Kolmnurk $ABE$ on täisnurkne, seega on vaja nurga $\alpha$ siinust.

Avaldame põhiseosest $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ siinuse. Nurk $\alpha$ on teravnurk, seega siinus on positiivne.

Asendame $\cos\alpha = \frac{7}{8}$.

Kolmnurgas $ABE$ on täisnurk tipus $E$, hüpotenuus on $AB = 8$ ja lõik $BE$ on nurga $\alpha$ vastaskaatet.

Siinus on vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe.

Avaldame $BE$ ja asendame $AB = 8$ ning $\sin\alpha = \frac{\sqrt{15}}{8}$.