Sõbrad Kati ja Mart mängivad noolemängu. Kati tabab märklaua südamikku tõenäosusega 65 ja Mart tõenäosusega 76.
1.Kui suur on tõenäosus, et
1)nii Kati kui ka Mart tabavad esimese viskega märklaua südamikku?
2)vähemalt üks sõpradest tabab esimese viskega märklaua südamikku?
2.Mõlemad sõbrad teevad 5 viset. Põhjendage arvutustega, kas suurem on tõenäosus, et
1)Kati tabab märklaua südamikku täpselt 3 korral või
2)Mart tabab märklaua südamikku täpselt 4 korral?
Allikas: Matemaatika lai riigieksam 2021, ülesanne 5
Valemikaart: bernoulli valem
Pn(k)=Cnk⋅pk⋅qn−k,q=1−p
n katset,ko˜nnestumist,po˜nnestumise to˜ena¨osus
Valemikaart: kombinatoorika
Pn=n!
Ank=(n−k)!n!
Cnk=k!(n−k)!n!
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kati ja Mardi visked on teineteisest sõltumatud. „Vähemalt üks“ on lihtsam leida vastandsündmuse kaudu. Teises küsimuses sobib Bernoulli valem.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1.1Samm 1: Korruta tabamise tõenäosused
Esimese küsimuse esimeses osas peavad tabama mõlemad. Kati ja Mardi visked ei mõjuta teineteist, seega on sündmused sõltumatud ja nende korrutise tõenäosus on tõenäosuste korrutis.
Kirjutame sõltumatute sündmuste korrutise tõenäosuse.
P(mo˜lemad tabavad)=P(K)⋅P(M)
Asendame P(K)=65 ja P(M)=76 ning taandame.
P(mo˜lemad tabavad)=65⋅76=4230=75
Korrutamisel saab kuue taandada kohe ära, sest see on ühe murru nimetajas ja teise lugejas.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 1.2Samm 2: Kasuta vastandsündmust
Teises osas peab tabama vähemalt üks sõber. Selle vastandsündmus on, et mõlemad lähevad mööda. Kati läheb mööda tõenäosusega 1−65=61 ja Mart tõenäosusega 1−76=71.
Arvutame tõenäosuse, et mõlemad lähevad mööda.
P(mo˜lemad mo¨o¨da)=61⋅71=421
Lahutame vastandsündmuse tõenäosuse ühest.
P(va¨hemalt u¨ks tabab)=1−421=4241
Sündmus „vähemalt üks tabab“ ja „mõlemad lähevad mööda“ on vastandsündmused: üks neist toimub alati. Sama tulemuse annab liitmislause: 65+76−75=4235+36−30=4241.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2.1Samm 3: Arvuta Kati tõenäosus Bernoulli valemiga
Teises küsimuses teevad mõlemad viis viset. Iga vise on sõltumatu katse, millel on kaks tulemust: tabab või ei taba. Selline olukord sobib Bernoulli valemiga. Katil on n=5, k=3, p=65 ja q=61.
Kirjutame Bernoulli valemi.
Pn(k)=Cnk⋅pk⋅qn−k
Arvutame kombinatsioonide arvu.
C53=3!⋅2!5!=6⋅2120=10
Asendame valemisse.
P5(3)=10⋅(65)3⋅(61)2=10⋅216125⋅361=77761250
Taandame murru kahega ja arvutame ligikaudse väärtuse.
77761250=3888625≈0,161
C53=10 on nende võimaluste arv, kuidas valida viiest viskest need kolm, millega Kati tabab. Iga sellise võimaluse tõenäosus on (65)3⋅(61)2.
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2.2Samm 4: Arvuta Mardi tõenäosus Bernoulli valemiga
Mardil on n=5, k=4, p=76 ja q=71.
Arvutame kombinatsioonide arvu.
C54=4!⋅1!5!=5
Asendame Bernoulli valemisse.
P5(4)=5⋅(76)4⋅71=5⋅24011296⋅71=168076480
Arvutame ligikaudse väärtuse.
168076480≈0,386
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 2Samm 5: Võrdle tõenäosusi
Võrdleme kahte leitud tõenäosust.
0,161<0,386
Mardi tõenäosus on suurem.
PKati<PMart
Mardi tõenäosus on üle kahe korra suurem. Kati tabab küll peaaegu sama hästi, aga temalt nõutakse kahte möödaviset, mille tõenäosus on väike ((61)2=361).
VASTUS
1) Tõenäosus, et mõlemad tabavad esimese viskega südamikku, on 75, ja tõenäosus, et vähemalt üks tabab, on 4241. 2) Tõenäosus, et Kati tabab viiest viskest täpselt 3 korral, on 3888625≈0,161, ja tõenäosus, et Mart tabab täpselt 4 korral, on 168076480≈0,386. Suurem on tõenäosus, et Mart tabab täpselt 4 korral.