Lai riigieksam 2015, ülesanne 12: Võrdsete külgservadega püramiid

Joonestame kolmnurkse püramiidi. Tähistame põhja tipud $A$, $B$, $C$ nii, et $AC = 1$ dm, $AB = 2$ dm ja nurk $A = 60^\circ$. Püramiidi tipp on $S$ ja kõik külgservad on $SA = SB = SC = \sqrt{10}$ dm.

Kirjutame üles antud andmed.

Kirjutame koosinusteoreemi külje $BC$ jaoks. Selle vastas on nurk $A$.

Asendame $AB = 2$, $AC = 1$ ja $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Võtame ruutjuure.

Võrdleme kahe lühema külje ruutude summat pikima külje ruuduga.

Pythagorase teoreemi pöördteoreemi järgi on kolmnurk täisnurkne ja täisnurk on külje $AB$ vastas.

Tõmbame püramiidi kõrguse $SO$, kus $O$ asub põhjas. Kolmnurgad $SOA$, $SOB$ ja $SOC$ on täisnurksed (täisnurk tipus $O$), neil on ühine kaatet $SO$ ja võrdsed hüpotenuusid $\sqrt{10}$.

Seega on ka teised kaatetid võrdsed, ehk $O$ on põhja tippudest võrdsel kaugusel.

Täisnurkse kolmnurga ümberringjoone keskpunkt on hüpotenuusi keskpunkt, seega $O$ on lõigu $AB$ keskpunkt.

Vaatleme täisnurkset kolmnurka $SOA$, kus hüpotenuus on $SA = \sqrt{10}$ dm ja kaatet $OA = 1$ dm.

Kirjutame Pythagorase teoreemi.

Avaldame kõrguse ja asendame $SA = \sqrt{10}$, $OA = 1$.

Kirjutame kolmnurga pindala valemi kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu.

Asendame küljed $1$ ja $2$ ning nurga $60^\circ$.

Kirjutame püramiidi ruumala valemi.

Asendame $S_p = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ja $H = 3$.