Kitsas riigieksam 2024, ülesanne 5: Kuivenduskraav kolmnurkses maatükis

Esimeses küsimuses tuleb leida kraavi $BK$ pikkus. Selleks on vaja teada lõigu $AK$ pikkust, mis sõltub küljest $AC$. Kolmnurgas $ABC$ on teada kaks külge ja nendevaheline nurk, seega saame kolmanda külje koosinusteoreemiga.

Kirjutame koosinusteoreemi külje $AC$ jaoks. Nurk $B$ on külgede $AB$ ja $BC$ vahel.

Asendame $AB = 300$, $BC = 420$ ja $\angle B = 65^\circ$.

Võtame ruutjuure.

Lõik $AK$ on $\frac{2}{5}$ küljest $AC$.

Ülejäänud osa küljest on lõik $KC$.

Kolmnurgas $ABK$ on nüüd teada küljed $AB$ ja $AK$. Nende vaheline nurk $A$ on ka kolmnurga $ABC$ nurk, seega leiame selle kolmnurgast $ABC$, kus on teada kõik kolm külge.

Kirjutame koosinusteoreemi külje $BC$ jaoks. Nurk $A$ on külgede $AB$ ja $AC$ vahel.

Avaldame nurga koosinuse.

Asendame $AB = 300$, $AC^2 \approx 159\,900{,}2$, $BC = 420$ ja $AC \approx 399{,}88$.

Leiame taskuarvutiga nurga.

Kolmnurgas $ABK$ on teada kaks külge ja nendevahelise nurga koosinus. Kasutame veel kord koosinusteoreemi.

Kirjutame koosinusteoreemi külje $BK$ jaoks.

Asendame $AB = 300$, $AK \approx 159{,}95$ ja $\cos \angle A \approx 0{,}3063$.

Võtame ruutjuure.

Teises küsimuses on vaja kolmnurga $ABC$ pindala. Teada on kaks külge ja nendevaheline nurk, seega saab pindala arvutada siinusega.

Kirjutame kolmnurga pindala valemi kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu.

Asendame $AB = 300$, $BC = 420$ ja $\angle B = 65^\circ$.

Üks hektar on $10\,000$ ruutmeetrit.

Jagame pindala arvuga $10\,000$.