Kitsas riigieksam 2024, ülesanne 12: Korrapärane nelinurkne püramiid

Esimeses küsimuses on vaja külgpindala. Selleks on vaja külgtahu kõrgust (apoteemi), mille leidmiseks peame teadma püramiidi kõrgust. Kõrguse saame ruumalast, aga enne on vaja põhja pindala. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhi on ruut.

Ruudu pindala on külje ruut.

Kirjutame püramiidi ruumala valemi.

Avaldame kõrguse: korrutame mõlemaid pooli arvuga $3$ ja jagame põhja pindalaga.

Asendame $V = 256$ ja $S_p = 64$.

Külgtahu kõrgus ehk apoteem $TF$ on tõmmatud põhiserva $DA$ keskpunkti $F$. Kolmnurk $TEF$ on täisnurkne (täisnurk tipus $E$), kaatetid on kõrgus $TE$ ja lõik $EF$, mis on pool põhiservast.

Lõik $EF$ on pool põhiservast.

Kirjutame Pythagorase teoreemi kolmnurgas $TEF$.

Asendame kaatetid.

Võtame ruutjuure ja toome teguri $16$ juure alt välja.

Külgpind koosneb neljast võrdsest võrdhaarsest kolmnurgast, mille alus on põhiserv $a = 8$ cm ja kõrgus apoteem $TF$.

Ühe külgtahu pindala on alus korda kõrgus jagatud kahega, külgtahke on neli.

Asendame $a = 8$ ja $TF = 4\sqrt{10}$.

Teises küsimuses on vaja külgserva ja põhja vahelist nurka. See on külgserva ja selle projektsiooni vaheline nurk. Külgserva $TA$ projektsioon põhjale on lõik $EA$, sest tipu $T$ projektsioon on põhja keskpunkt $E$.

Märgime nurga tipu $A$ juurde kolmnurgas $TEA$.

Lõik $EA$ on pool põhja diagonaalist $AC$. Ruudu diagonaal on $a\sqrt{2}$.

Täisnurkses kolmnurgas $TEA$ on teada nurga $\alpha$ vastaskaatet $TE = 12$ cm ja lähiskaatet $EA = 4\sqrt{2}$ cm. Kahe kaateti seos on tangens.

Kirjutame tangensi definitsiooni.

Asendame kaatetid.

Leiame taskuarvutiga nurga.