Kitsas riigieksam 2022, ülesanne 7: Kolmnurkne aiamaa krunt
Aiamaa krunt on kolmnurgakujuline. Krundi külje AB pikkus on 20 m, külje AC pikkus on 30 m ja nende külgede vaheline nurk on 50∘.
1.Tehke tekstile vastav joonis.
2.Arvutage krundi ümbermõõt ja pindala.
3.Krundile on paigaldatud kaks aiavalgustit. Üks neist asub tipus A ja teine küljel BC täpselt 9 m kaugusel tipust C.Arvutage, kui kaugel asuvad valgustid teineteisest.
Allikas: Matemaatika kitsas riigieksam 2022, ülesanne 7
Eksamil said tegijad selle ülesande eest keskmiselt 34,3% punktidest (Harno aruanne).
Valemikaart: koosinusteoreem
c2=a2+b2−2abcosγ
Valemikaart: kolmnurga pindala kahe külje ja nurga kaudu
S=21absinγ
γ on ku¨lgede a ja b vaheline nurk
Valemikaart: siinusteoreem
sinαa=sinβb=sinγc
Sinu vastus
Proovi ise enne
Lahendus on peidus. Ava nii palju, kui parajasti vaja.
1. Vihje
2. 1. samm
3. Kogu lahendus
Vihje
Kaks külge ja nendevaheline nurk on teada, seega kolmanda külje annab koosinusteoreem ja pindala valem S=21absinγ. Kolmandas küsimuses on vaja kolmnurga ABC nurka tipus C.
1Samm 1Peidetud
1
Küsimus 1Samm 1: Tee joonis
Esimeses küsimuses tuleb teha joonis. Joonestame kolmnurga ABC ja kanname sellele antud andmed: külg AB=20 m, külg AC=30 m ja nende vaheline nurk tipus A on 50∘.
Kirjutame üles antud andmed.
AB=20 m,AC=30 m,∠A=50∘
20 m30 m50∘ABC
Külgede AB ja AC vaheline nurk on nurk tipus A, sest mõlemad küljed algavad tipust A. Joonis ei pea olema täpses mõõtkavas, aga andmed peavad olema õigetes kohtades.
2Samm 2Peidetud
2
Küsimus 2Samm 2: Leia külg BC
Teises küsimuses on vaja ümbermõõtu, seega peame leidma kolmanda külje BC. Teada on kaks külge ja nende vaheline nurk, seega kasutame koosinusteoreemi.
Kirjutame koosinusteoreemi külje BC jaoks. Külje BC vastas on nurk A.
BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos∠A
Asendame AB=20, AC=30 ja ∠A=50∘.
BC2=202+302−2⋅20⋅30⋅cos50∘≈400+900−771,35=528,65
Võtame ruutjuure.
BC≈528,65≈22,99 m
20 m30 m≈22,99 m50∘ABC
2⋅20⋅30=1200 ja cos50∘≈0,6428, seega 1200⋅cos50∘≈771,35. Taskuarvutiga arvutades peab nurgaühik olema kraadides.
3Samm 3Peidetud
3
Küsimus 2Samm 3: Arvuta ümbermõõt
Kolmnurga ümbermõõt on külgede pikkuste summa.
P=AB+AC+BC
Asendame küljed.
P≈20+30+22,99=72,99≈73 m
20 m30 m≈22,99 m50∘P≈73 mABC
4Samm 4Peidetud
4
Küsimus 2Samm 4: Arvuta pindala
Kirjutame kolmnurga pindala valemi kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu.
S=21⋅AB⋅AC⋅sin∠A
Asendame AB=20, AC=30 ja ∠A=50∘.
S=21⋅20⋅30⋅sin50∘≈300⋅0,7660≈229,8≈230 m2
20 m30 m≈22,99 m50∘P≈73 mS≈230 m2ABC
Valemis on kaks külge ja just nende külgede vaheline nurk. Siin on see nurk A, mis on ülesandes antud, seega külge BC pindala jaoks vaja ei ole.
5Samm 5Peidetud
5
Küsimus 3Samm 5: Leia nurk C
Kolmandas küsimuses on teine valgusti küljel BC punktis D, kus CD=9 m. Kauguse AD saame kolmnurgast ADC, milles on teada AC=30 m ja CD=9 m. Puudu on nendevaheline nurk C; tähistame selle γ. Leiame selle kolmnurgast ABC siinusteoreemiga.
Kirjutame siinusteoreemi. Külje AB vastas on nurk γ, külje BC vastas nurk A.
sinγAB=sin50∘BC
Avaldame sinγ ja asendame arvud.
sinγ=BCAB⋅sin50∘≈22,9920⋅0,7660≈0,6664
Leiame nurga taskuarvutiga.
γ≈41,8∘
20 m30 m≈22,99 m50∘γ≈41,8∘9 mABCD
Siinuse väärtusele 0,6664 vastab ka nürinurk 180∘−41,8∘=138,2∘, aga see ei sobi, sest koos nurgaga A=50∘ oleks nurkade summa üle 180∘. Teisiti öeldes: külg AB=20 m on lühem kui AC=30 m, seega on nurk C väiksem kui nurk B ja ei saa olla nürinurk.
6Samm 6Peidetud
6
Küsimus 3Samm 6: Arvuta valgustite kaugus
Kolmnurgas ADC on nüüd teada kaks külge ja nendevaheline nurk, seega kasutame jälle koosinusteoreemi.
Kirjutame koosinusteoreemi külje AD jaoks. Külje AD vastas on nurk γ.
AD2=AC2+CD2−2⋅AC⋅CD⋅cosγ
Asendame AC=30, CD=9 ja γ≈41,8∘.
AD2≈302+92−2⋅30⋅9⋅cos41,8∘≈900+81−402,56=578,44
Võtame ruutjuure.
AD≈578,44≈24,05≈24 m
20 m30 m≈22,99 m50∘γ≈41,8∘9 md≈24 mABCD
2⋅30⋅9=540 ja cos41,8∘≈0,7455, seega 540⋅cos41,8∘≈402,56. Kui arvutada nurka ümardamata, tuleb samuti AD≈24,05 m.
VASTUS
1) Joonis on lahenduses. 2) Krundi ümbermõõt on umbes 73 m ja pindala umbes 230 m². 3) Valgustid asuvad teineteisest umbes 24 m kaugusel.